课时作业二十
学业水平层次
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则
l1与l2所成的角为
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．以上均不对
【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且
异面直线所成角的范围为0，π2应选A
【答案】A2．已知A011，B2，－10，C357，D124，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为
522A66
B．－5
2266
522C22
D．－5
2222
→
→
【解析】AB＝2，－2，－1，CD＝－2，－3，－3，
→→∴cos〈AB，CD〉＝
→→ABCD
→→
＝3×5
＝522
6622，
ABCD
∴直线
AB、CD
所成角的余弦值为5
2266
【答案】A3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝
fAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1则→
A000，D010，P001．于是AD＝010．
取PD中点为E，
则E0，21，21，
∴A→E＝0，21，21，
→
→
易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴
cos
→→AD，AE
＝22，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°
【答案】B4．2014陕西师大附中高二检测如图3229，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为
f图3229
A．－
33
B．－
32
3C3
3D2
【解析】设AD＝1，则A1102，B120，因为E、F分别为
→
→
C1D1、A1B的中点，所以E012，F111，所以A1E＝－110，A1B
A→1Em＝0，＝02，－2，设m＝x，y，z是平面A1BE的法向量，则A→1Bm＝0，
－x＋y＝0，
y＝x，
所以
所以
取x＝1，则y＝z＝1，所以平面
2y－2z＝0，
y＝z，
→A1BE的一个法向量为m＝111，又DA⊥平面A1B1B，所以DA＝100
是平面
A1B1B
的一个法向量，所以
→cos〈m，DA〉＝
→mDA
→
＝
13＝
33，
mDA
又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为33，
故选C
【答案】C二、填空题5．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A100，
fM1，12，1，C010，N1，1，12，∴A→M＝0，21，1，C→N＝1，0，21，
1
→→∴cos〈AM，CN〉＝
25
5＝25，
22
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为52
【答案】
25
6．2014临沂高二检测在空间直角坐标系Oxyz中，已知A1，
→－20、B21，6，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值
为________．
→【r