，ABAC，BC中点为D，O过A、C、D，AE是△ABC的高，BOAF延长后交AE于F，求．EF解析如图，设O还与AB交于M，则M、O、C共线，故MDBC，MD∥AE．
fAMNBDOFEC
AFMN2．FEND12116★★已知正三角形ABC，以BC为直径向外作半圆，M、N在BC上，BMMNCN，延长AM、AN，交半圆于D、E，求证：D、E将半圆弧三等分．OEOCAC解析如图，设BC中点为O，连结DO、EO．易知ANCONE90，，于3ONONCN是△OEN∽△ACN，COE60，同理BOD60，于是结论成立．
在△BMC中，BO、MD均为中线，设交于N，N为重心，故
A
B
M
O
N
C
D
E
12117★★如图，ACECDE90，点B为CE上一点，使得CACBCD，△ACD的外接圆交AB于点F．证明：F为△CDE的内心．
EBGFD
OCA
解析连结DF、CF．注意到CDFCAB45，CDE90，故DF为CDE的角平分线．因此，只需再证明：CF为ECD的角平分线．ACGπ，而设CE交△ACD的外接圆O于点G，则由ACB90，可知A、O、G共线，所以ACCD，故CDCGπ，于是2CGGFFDπ．
πFD．GFπ，此式乘以2减去前面的式子，可得GF，即CG22所以，FCDFCG，即CF为DCE的平分线．12118★D是△ABC的边AB上的一点，使得AB3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得PBADPACB，求的值．PDABAPP所以，△APB∽△ADP，故解析连结AP，则APBACBAD，，所以APADPBAPAP2ABAD3AD2，故AP3AD，所以3．PDAD又CDF45，故CGF
fAD
P
B
C
12119★★已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ABa1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长．解析如图，连结OA、OB．设D，则ECA120180CABEABCABEAC．
OECDB
A
又因为
11ABOABD601802120，22则ABOECA．又CEAAOB，ACAB所以△ACE≌△ABO，于是AEOA1．12120★★已知不等边三角形ABC，A的平分线交△ABC外接圆于P，M、N分别为AB、AC中点，S、T在AP上，MSAB，TNAC，求证：S△MSPS△TNP．解析如图，不妨设ABP≤90，ACP≥90，作PXAB，PYr