AC，则X在AB上，Y在AC延长线上，且△PBX≌△PCY，BXCY，AXAYABAC．显然AXAY，于是111AXAYABAC，而AMAB，则MXAC．222
AMXBYPS
T
NC
11A11A1A同理S△TNPABACta
．因此S△MSPS△MSXMSMXAMta
ACABACta
，22228282结论成立．评注本题还可以通过△BSP∽△ABC∽△TPC，或通过外心O用相交弦定理予以证明．12121★★已知一圆的两条相交弦AD与BC，B在AD的劣弧上，圆半径为5，BC6，AD是从A出发的唯一被BC平分的弦，求si
AOB（O为圆心）．解析如图，题目的意思是以AO为直径的圆与BC相切．
fDEABFOC
作AE、OF与直线BC垂直．则OF52324，AO中点至BC距离为
AB2．此EF52324，所以cosAOBBE1，
AO5，于是AE1．因22
2
7525222424，．si
AOB125255252512122★设锐角三角形ABC的三边长满足abc，以BC为直径的圆与边BC上的高所在直线交于A、A，同理定义B、B，C、C，容易知道A、A，B、B，C、C这三组点中，任两组的四点共圆，则这3个圆中，最大的是经过哪四点的圆？最小的是经过哪四点的圆？解析如图，易知过A、A、B、B的圆的圆心为C，半径为CACDCB．即
a1aaAC22bcosCabcosCa2b2c2．2222
AABDC
2
A
由于abc，所以过A、A、B、B的圆最大，过B、B、C、C的圆最小．12123★设A、B、C是O上三个不同的点，过点B、C分别作与BC垂直的直线h和g，AB的中垂线与h交于点F，AC的中垂线与g交于点G，证明：当B、C固定时，BFCG不依赖于A的选取．ABABAC解析如图，先设B、C90，则BF，同理CG，故2cosFBA2Bsi
2siC
ABAC．BFCG2（RR为O半径）4siB
sCi
hAFg
GC
B
当B、C之一大于或等于90时，结论依然成立．12124★两圆交于A、B，已知动长弦PAQ，PQ的中点为K，求BK达到最大时PQ与AB之间的关系．解析如图，设两圆为O1与O2，连结PB、BQ、O1O2，则BPQ与PQB都是定角，故△PBQ形状固定，欲BK达到最大，只要PQ达最大．
fP
MA
KN
Q
O1B
O2
又作O1M、O2N与PQ垂直，则M、N分别为PA、QA之中r