m31AB12110★★B、C为定点，A为动点，满足为定值k1，则所有这样的A的轨迹是一个以DE为ACBDBE直径的圆（阿波罗尼斯圆），D在BC上，E在BC延长线上，k．CDCEBDBEAB解析如图，作A的内角平分线与外角平分线，分别交BC直线于D、E，则k为定CDCEAC值，D、E为定点，又DAE90，故A在以DE为直径的定圆上．
A
B
D
C
E
反之，设BAD，CAD，则BAE90，CAE90，ABsi
BDBEABsi
90，于是ta
ta
，故，结论成立．ACsi
CDCEACsi
9012111★★已知四边形ABCD的外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AEEC，
AB2AE，且BD23，求四边形ABCD的面积．
ADHBOEC
解析由题设得AB22AE2AEAC，故
ABEACB，从而ABAD．
ABAE．又EABBAC，故△ABE∽△ACB，故ACAB
3．所以OHOB2BH21，AHOAOH1，连结AO，交BD于H，则BHHD1S△ABDBDAH3．2因为E是AC的中点，所以S△ABDS△BCD．故S四边形ABCD2S△ABD23．
12112★运用相交弦定理证明：对于等腰三角形ABC，D是底边BC上任一点，则AB2AD2BDCD．解析如图，以A为圆心，AB为半径作圆，两端延长AD，分别交圆于E、F，则AB2AD2ABADABADEDFDBDCD．
fE
A
B
DF
C
评注这是一个异常有用的结论，如果D在BC延长线上，结论变成AD2AB2BDCD．本题亦可通过作△ABC的外接圆完成．AB12113★★已知△ABC，BCa，，求该三角形面积的最大值（用a、k1（a、k都是定值）ACk表示）．解析如图，不妨先设k＞1．作BAC的内、外角平分线，分别与BC、BC延长线交于D、E，则A的1轨迹就是以DE为直径的阿氏圆（见题12110）．显然S△ABC的最大值为BCDE．4
A
BD
C
O
E
ka2BDABBEaa2ka，故CD，CE，DE2，maxS△ABC．2k21CDACCEk1k1k1AC1k1时，用做．综上，有ABkka2maxS△ABC．2k21C，12114★★顺次将线段AD三等分于B、求ta
APBta
CPD．P为以BC为直径的圆上任一点，1解析如图，作BQBP，Q在AP上．由于BPCP，ABBC，故QB∥CP，2BQCPPB1，同理ta
CPD，故ta
APBta
CPD．ta
APBBP2BP2PC4
又
PQABCD
12115★★已知△ABC中r