．证明：这4个三角形的外接圆半径都相同．解析利用对称性可知，只需对下面的两种情形予以证明．
CO3DAO1BO2
情形1：△ABD、△BCD和△CAD的外接圆半径相同．设O1、O2、O3分别是这3个三角形的外心，
O2C．从则四边形O1BO2D、O2CO3D和O3AO1D都是菱形．于是，O1A∥O3D∥O2C，且O1AO3D
f而四边形ACO2O1为平行四边形，即AC∥O1O2，故ACBD．同理可证CDAB、ADBC，即D为△ABC的垂心．这时，BDC180BAC，利用正弦定理，可得△ABC与△BDC的外接圆半径相同，命题成立．情形2：△ABC、△ACD和△BCD的外接圆半径相同．由正弦定理，可知si
BDCsi
BAC，结合△ABC为锐角三角形及D在△ABC内部，得BDC180BAC．同理ADC180ABC．进ADB360BDCADC180ACB△ACB而，从而再由正弦定理可知△ADB与的外接圆半径相同，命题也成立．1217★如图，点C在等腰梯形BDDB的外接圆上，A是对角线BD和BD的交点，且AC∥DD，ABBC2求证：．ADCD2
BAθθBC
θDD
解析ACD180CDDABC，又有BACCAD，这样便有△ABC∽△ACD，故1ABACsi
BC2S△ABC2AB．CD2S△ACD1ADACsi
AD21218★★设锐角△ABC的外心为点O，垂心为点H，证明：△AOH、△BOH与△COH中，有一个的面积等于其余两者面积之和．解析当点O在某条高上时，△ABC变成等腰三角形，结论显然成立，下设△ABC不是等腰三角形．
AC1BOA1HB1C
延长AO、BO、CO，分别与对边相交，得点A1、B1、C1．不妨设点H在6个小三角形中的△B1CO内，易知此时有CAB（这里C等均为△ABC的内角）．由于OH是△ABC的欧拉线，若设BC中点为D，则点A至OH距离点D至OH距离的2倍点B、点C至OH距离的和，于是便有S△AOHS△BOHS△COH．注意前面的结论隐含着点B、C在OH直线同侧这个要求．AB上，连结DP，DP交AC于点Q．若QPQO，1219★★正方形ABCD内接于O，点P在劣弧QC求．QA解析如图，设O的半径为r，QOQPm，QCrm，QArm．
DC
OQAPB
f在O中，根据相交弦定理，得QAQCQPQD．即rmrmmQD，所以QD
2
222
r2m2．m
r2m2322r．连结DO，由勾股定理，得QDDOQO，即rm，解得m3mQCrm3132．所以，QArr