2
y
，解得

xy

32
．
221（2）解方程组EA2322210得矩阵A的三个特征值
002
122132；
8
f分别求解线性方程组iEAx0i123得到分属三个特征值122132的线性无关
111
的特征向量为：1


2


2


1

3


2

．
0
0
4
111
2

令
P1

12
3



2
1
2

，则
P1可逆，且
P11AP


004

1

；
2
同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值122132的线性无关的特征向量为：
110
1


0

2


3

3


0

．
0
0
14
110
2

令
P2

123



0
3
0

，则
P2
可逆，且
P21
BP


001

1

；
2
111
由前面P11AP1

P21BP2
，可知令P

P1P21


2
1
00
2

，就满足
P1AP

B
．
4
22．（本题满分11分）设随机变量XY相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为：
PY1p，PY11p，0p1．令ZXY．
（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，XZ不相关；（3）此时，XZ是否相互独立．
【详解】（1）显然
X
的概率密度函数为
fX
x

exx00x0
．
先求ZXY的分布函数：
FZzPZzPXYzPXzY1PXzY11pPXzpPXz（1）FXzp1FXz
再求ZXY的概率密度：
pezz0
fZ
z

FZ
z

pfX
z

1
p
fX
z


0
z0
1pezz0
（2）显然EX1DX1EY12p；
9
f由于随机变量XY相互独立，所以EZEXYEXEY12p；
EXZEX2YEX2EY24p；COVXZEXZEXEZ12p；
要使XZ不相关，必须COVXZEXZEXEZ12p0，也就是p05时XZ不相关；
（3）XZ显然不相互独立，理由如下：设事件AX1，事件BZ1，则
PAPX1exdxe1；1
PBPZ1PX1Y1PX1Y111e1；2
PABPX1Z1PX1XY1PX1Y1PX1PY1pe1，当x
p05时，显然PABPAPB，也就是XZ显然不相互独立．
23．（本题满分
11
分）设总体
X
的概率密度为
f
x


A

e
x222

x


，其中
是已知参数，
是未知
0x
参数，A是常数，X1X2X
是来自总体X的简单随机样本．（1）求常数A的值；（2）求2的最大似然估计量．
【详解】（1）由

fxdx1可知

A
e


x222
dx




2Ae0
t2
2
d

t2


A12
所以A2．
似然函数为LX1X2
X
2

i1
f
xi

A


Xi2ei122
xi


，

0其他
取对数，得l
LX1X2

X



2




l

A


2
l

2


12
2

Xi
i1
2
解方程dl
Lr