2dx

012

当x01时，显然有x
1x
，a
1a

1x
1x
0
1x2dx0，所以数列a
单调减少；


先设I

2si
xdx
0
2cos
dx
012
0
则当
2时，



I

2si
xdx2si
1xdcosx
12si
2xcos2xdx
0
0
0

1I
2I

6
f也就是得到
I


2
1
I
2


01
令xsi
tt0，则2
a

1x
0
1x2dx

2si
tcos2tdt
0

2si
dt
0
20
si
2
tdt

I


I
2



1
2
I

同理，a
2

I
2
I



11
I


综合上述，可知对任意的正整数
，均有a
a
2




12
，即
a





12
a
2

23
；
（2）由（1）的结论数列a
单调减少，且a


1
2
a
2

23

a


1
2
a
2


1
2
a
1
1
a
a
1


1
2
令
，由夹逼准则，可知lima
1．a

1
19．（本题满分10分）设是由锥面x2y221z20z1与平面z0围成的锥体，求
的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：
1
1
1dvdzdxdydz
dxdy
1

1
z2
dz


0
0
0

Dz
x2y221z2
3
1
1
zdvzdzdxdyzdz
dxdy
1
z1
z2dz


0
0
0

Dz
x2y221z2
12
1
1
xdv0dzxdxdy0dzxdxdy0

Dz
x2y221z2
1
1
ydvdzydxdydz
ydxdy
1
2
1
z2
dz

2
0
0
0

Dz
x2y221z2
3
x


xdv

0
，
y


ydv

2
，
z


zdv

1
．从而设形心坐标为x
y
z

02
1
．
dv
dv
dv4
4



注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然1dv，且由对称性，明显

3
x0，y2．
7
f111
1
20．（本题满分
11
分）设向量组1


2



2


3


3


a

为
R3空间的一组基，

1
在这组基下的
1
2
3
1
b
坐标为

c

．
1
（1）求abc之值；
（2）证明：23也为R3空间的一组基，并求23到123的过渡矩阵．
bc11
a3
【详解】（1）由b1c23可得2b3ca1，解方程组，得b2
b2c31
c2
111111
且当a3时，12323301110，即123线性无关，确实是R3空间的一
123012
组基．
111111
（2）2333100220，显然23线性无关，当然也为R3空间的一组基．
231011
设a23P123，则从23到123的过渡矩阵为
1111111011111110
P

2
3

1
1
2
3



3
3
1

2
3
3


05
05
1

2
3
3


05
0
1

231123150501230500
221
210
21．（本题满分
11
分）已知矩阵
A


2
x
2

与
B


0
1
0

相似．
002
00y
（1）求xy之值；（2）求可逆矩阵P，使得P1APB．
【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：
AtrA
BtrB
，即
22x44x1yr