xy，及f11，求fx．3．设对于满足x1的所有实数x，函数fx满足f
x33xfx，求fx的解析式．x11x
五．判断奇偶性问题：
【例1】已知不恒为零的函数fx对任意不等于零的实数x、y都有fxyfxfy，试判断函数fx的奇偶性．【例2】已知fxyfxy2fxfy，对一切实数x、y都成立，且f00，求证fx为偶函数．
练习题：
1．已知函数fx的定义域为R，且对任意实数x，y都有fxyfxfy，则fx是（（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既为奇函数又为偶函数））
2．函数fx的定义域为R，若fx1与fx1都是奇函数，则（
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f抽象函数专题
（A）fx是偶函数（C）fxfx2
（B）fx是奇函数（D）fx3是奇函数
3．函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xfx1x1fx，则ff的值是（（A）0
52
）
（B）
12
（C）1
（D）
52
4．若函数yfxfx0与yfx的图象关于原点对称，求证：函数yfx是偶函数．
六．判断单调性问题：
【例1】设fx定义于R上，当x0时，fx1，且对于任意实数x、y有fxyfxfy，求证：fx在R上为增函数．【例2】设函数fx定义域为0，且对任意的实数x、y，有fxyfxfy，若f21，且当x1时，fx0．（1）求证：f1；（2）试判断fx在0上的单调性，并证明．【例3】已知函数fx定义域为0，对任意正实数x、y均有有fxyfxfy，且当x1时
12
0fx1，f2
1．2
（1）求证：fx0；（2）求证：fxfx；（3）求证：fx在0上为单调减函数；（4）若fm2，试求m的值．
11
练习题：
1．设fx定义于R上，当x0时，0fx1，且对于任意实数x、y有fxyfxfy，求证：（1）ffx；（2）fx在R上为增函数．2．设函数fx定义域为0，对任意的实数x、y都有fxyfxfy，且当0x1时，
1x
fx0．
（1）求f1的值；（2）试判断fx在0上的单调性，并证明．3．已知函数fx的定义域为R，且对m，
R恒有fm
fmf
1，且fr