2014高三数学专题
抽象函数
特殊模型和抽象函数
特殊模型
抽象函数
正比例函数fxkxk≠0
fxyfxfy
幂函数fxx

fxyfxfy或fxfxyfy
指数函数fxaxa0且a≠1
fxyfxfy或fxyfxfy
对数函数fxlogax1
a0且a≠fxyfxfy或fxfxfy
y
正、余弦函数
fxsi
xfxTfx
fxcosx正切函数fxta
x余切函数fxcotx
fxyfxfy1fxfy
fxy1fxfyfxfy
一定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1若函数yf（x）的定义域是－2，2，则函数yf（x1）f（x－1）的定义域为1x1。
解：fx的定义域是22，意思是凡被f作用的对象都在22中。评析：已知fx的定义域是A，求fx的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。
练习：已知函数fx的定义域是12
，求函数
f
log1
3

x
的定义域。
2

例2：已知函数flog3x的定义域为3，11，求函数fx的定义域
。1log311
评析：已知函数fx的定义域是A，求函数fx的定义域。相当于求内函数x
的值域。
f练习：定义在38上的函数fx的值域为22，若它的反函数为f1x，则
yf123x的定义域为
，值域为
。0
43

38
二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使
问题得以解决。
例3①对任意实数xy，均满足fxy2fx2fy2且f1≠0则f2001_______
解析这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
令x
y1得f
1f
2f12令x0y1得f012f02f12令xy0得：
f00∴f11即f
1f
1故f
f20012001
2
2
2
2
②R上的奇函数yfx有反函数yf1x由yfx1与yf1x2互为反函数，
则f2009
解析：由于求的是f2009，可由yf1x2求其反函数yfx2所以fx1
fx2，又f00通过递推可得f20094918
例4已知fx是定义在R上的函数，f11且对任意x∈R都有fx5≥fx5fx1
≤fx1若gxfx1x则g2002_________1
解由gxfx1x得fxgxx1而fx5≥fx5，所以gx5x51≥gxx15又fx1≤fx1，所以gx1x11≤gxx11，即gx5≥gx
gx1≤gx所以gx≤gx5≤gx4≤gx3≤gx2≤gx1
故gxgx1又g11故g20021
练习：1fx的定义域为0，对任意正实数xy都有fxyfxfy且f42，
则f2
（1）
2
2如果fxyfxfy且f12则f2f4f6f2000的值是
f1f3f5
f2001
。2000
f21f2f22f4f23f6f24f8
f1
f3
f5
f7
fr