题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以分析，从中发现规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．1假如只有三座桥图2148．对于图2148a来说，无论从哪个端点起一笔画出总是可能的．但对图2148b来说，无论从哪个端点起，一笔画完总是不可能的．
f2假如有四座桥图2149．对于图2149a，b来说，显然可以一笔画成．但对图2149c来说，却不能一笔画成．
研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提出了网络这一概念，以便利用新概念的特性，解决已经提出的问题．定义网络是由有限个点称作网络的顶点和有限条线称作网络的弧所组成的图形．这些点和线满足以下条件：i每条弧都以不同的两个顶点作为端点；ii每个顶点至少是一条弧的端点；iii各弧彼此不相交．这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾画出来的问题．3研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一个网络能一笔画出来，那么这个网络中显然有一点为起点，另一点为终点，其他各点为通过点．设某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，最初是画出去，然后进出若干次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条．而终点的情况刚好与起点相反，先是画进，再画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中奇数条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经过若干次进出，最终回到起点．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶数条弧，另一类顶点集中了奇数条弧．我们称前者为偶点，后者为奇点．例如，在图2149b中，A，B为奇点，C，D为偶点．通过对图2148和图2149的考察，我们可以直观地想到如下结论：i一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．
fii一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画出来．欧拉证明了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件是当且仅当这个网络的任意两个顶点都有弧连接，并且奇数点的个数等于0或2．4回到原问题．利用欧拉定理，“七桥问题”很容易就解决了．因为在图2147中，奇点个数是4，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按约定条件通过七座桥．5推广r