2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
八、圆1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．PP
DO1
AO2E
DO1
AO2C
DQO1EBF
图3
AO2E
Q
B
F
图1
C
B
F
图2
C
（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC∴∠BO1F＝∠CO2F∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E∴△DO1F≌△FO2E（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝32∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝32同理：∠BAP90°，ABAP＝52∴CG＝62，∠GAB＝∠QAP∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB－AC＝42
2222
DO1
AO2E
B
F
C
PG
D
AO2C
QE
O1BF
∴BG＝BC＋GC＝226，∴PQ＝226（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、AD、DM∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3同理：∠2＝∠4
f∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上且∠DBH＋∠DAH＝180°∴∠5＝∠8，∠6＝∠7∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线
PMD
7
9
62
83
1
Q
AO2E
5
O1G
4
B
FH
C
2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°点C是AB上的一个动点，（不与点A、重合）B，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；r