2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其
他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x36xk有解的实数k的最大值是（）
A．63
B．3
C．63
D．6
2．空间四点A、B、C、D满足AB3BC7CD11DA9则ACBD的取值
（
）
A．只有一个
B．有二个
C．有四个
D．有无穷多个
6记集合T
0123456M
a17
a272
a373
a474
ai
Ti
1234将
M
中的元素按从大到小的
f顺序排列，则第2020个数是（
）
A．55637727374
B．55627727374
C．11047727374
D．11037727374
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7将关于x的多项式fx1xx2x3x19x20表为关于y的多项式gy
a0a1ya2y2a19y19a20y20其中yx4则a0a1a20

8已知fx是定义在0上的减函数，若f2a2a1f3a24a1成立，则a的取值范
围是
。
12如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列
a1a2a3若a
2005则a5


三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13数列a
满足：a01a
17a

45a
2


36



N
2
证明：（1）对任意
Na
为正整数；2对任意
Na
a
11为完全平方数。
14将编号为12，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S求使S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
15过抛物线yx2上的一点A（11）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B点C在抛物线
f上，点
E
在线段
AC
上，满足
AEEC

1点
F
在线段
BC
上，满足
BFFC

2
，且1

2
1，线段
CD
与
EF
交于点P当点C在抛物线上移动时r