λJ0λ1…0000…λTheoremEachppmatrixAissimilartoamatrixJi
Jorda
formJQ1AQwithJ10…01QAQ0J2…0…00…JkwhereeachJrisa
r
rJorda
blocka
dkk1k2…ksequalstheeige
valuesλsumofthegeometricmultiplicitiesofthedisti
cteige
valuesλ1λ2…λsofAThesameeige
valuemayoccuri
differe
tJorda
blocksJrgeometricbutthetotal
umberofblockswiththateige
valueequalsitsgeometricmultiplicitykjj12…s也就是说针对某个eige
value可能出现在不同的Jorda
Block但其Block的总个数等于它的几何重根数而在所有Block主对角上此eige
value出现的总数就是它的代数重根数考虑
r
rJorda
blockJr其作用在矩阵Q的行向量若令有影响到的行向量为Vr1Vr2…Vr
r从AQQJ我们可得到下列关系式AVr1λrVr1a
dAVrjλrVrjVrj1forj2…
r其中Vr1是λr的eige
vector而Vrj则称为ge
eralizedeige
vectorλ
从上个例子中我们的第一个eige
valueλ13所对应的Jorda
blockJ33λ而eige
vector为V11V1075700517903984第二个λ26所对应的λJorda
blockJ66106因为它的几何重根数1而代数重根数2若我们要找出矩阵Q的行向量则必须找到一个ge
eralizedeige
vectorfor
第三章第6
fλ26
A1A6eye3b221解A6Ixbb221bisa
eige
vectorofAwitheige
value6
matgvrrefA1bmatgv1000000
0100000
20000200000
01111044440
从matgv的结果得A6Ixb221的解ge
eralizedeige
vectors为tb01111044440若取t0则得到向量gv011110444401令QV1V2gv我们计算QAQ的结果
gvmatgv4QV1bgvJdi
vQAQJd3000000000000000000060000001000060000
上述的结果说明虽然矩阵A不可对角化但是可相似similarto于一个矩阵Jdi
Jorda
Form
例找一个矩阵A221111122的Jorda
Form【解】先找出A的eige
values以及其对应的几何重根数与代数重根数再找出矩阵Q的行向量即eige
vectorsge
eralizedeige
vectors
A22eigAa
s1000000000i1000000000i100001111122
第三章第7
f为了解上面a
s复数的部分是否为误差值我们观察其特征多项式
polyAa
s10000检视上面a
s复数的部分是否为误差值检视上面
30000
30000
10000
从a
s的结果我们得到矩阵A的特征多项式Pλλ13故其特征值λ1有代数重根数3
rrefAeye3a
s100
200
100
我们得到矩阵A的特征向量x可写成x2αβαβα210β101210101线性独立所以特征值λ1有几何重根数r