行向量即为eige
value1000所对应的eige
vector。
检查V的行向量是否线性独立检查验证A是否对角化验证
ra
kVi
vVAVa
s3a
s141420000000000
000001414200000
000000000010000
从ra
kV3V的行向量是线性独立得知A可对角化1而且VAV也几乎近似于diago
almatrixD
观察数值的准确度formatlo
g观察数值的准确度i
vVAVa
s141421356237309000000000000000000000000000000
000000000000000141421356237310000000000000000
000000000000000000000000000000100000000000000
第三章第3
f2矩阵的对角化TheoremA
by
matrixAisdiago
alizableifa
do
lyifithas
li
earlyi
depe
de
teige
vectors也就是说如果A有
个线性独立的eige
vectors那么矩阵A就是可以对角化的。此外我们也可证明当特征值不同时其所对应的特征向量是线性独立的。从上面的例子我们可观察到这个结论。例求出矩阵A2813421013619730的eige
valueseige
vectors判断矩阵A是否可以对角化【解】
formatshortA28134210VDeigAA281019V075700517903984D300000006000000060000066670666703333066670666703333131374263013619730
从上面D的结果eige
valuesare36a
d66的重根数为2而其对应的eige
vectorsV的第二行行向量与第三行行向量看起来似乎是一样的并不线性独立故矩阵A不可以对角化。若我们观察V的秩数ra
k会发现一个问题
ra
kVa
s3
从a
s3表示V的行向量是线性独立与上述看到的结果有异。下面我们使用formatlo
g的格式注意其数值的变化
第三章第4
fformatlo
gVDformatshortV075697811924511051793239737824039840953644480D30000000000001400
改回原来的格式改回原来的格式
06666666955157106666666247044203333333595597405999999362698260
06666666378176206666667086289103333333071069300600000063730158
因为计算误差的结果Matlab把V的第二第三行向量视为不同而且线性独立因此我们得到ra
kV3让我们真正来计算6对应的eige
vectors
V1rrefA6eye3v1
ullA6eye3V1100v1066670666703333010220rrefofmatrixA6I
从上面的结果Eige
Value6的几何重根数GeometricMultiplicity1表示其特征向量与零向量形成的向量空间eige
space之维度只有1而代数重根数AlgebraicMultiplicity2因此Eige
Value6必然有一个22的Jorda
block下面我们将说明矩阵的Jorda
form
第三章第5
f3矩阵的Jorda
Form8p358所谓Jorda
blockJλ是一个上三角方阵其主对角上的元素是λ主对角上面J的元素是1其余则全为0即λ10…0Jr