2椭圆常用结论
一、椭圆的第二定义新疆王新敞奎屯
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个01内常数e，那么这个点的轨
迹叫做椭圆新疆王新敞
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数
e
就是离心率（点与线成对出现，新疆王新敞
奎屯
奎屯
左对左，右对右）
对于x2a2
y2
b2

1，左准线
l1

x


a2c
；右准线l2x
a2c
新疆王新敞
奎屯
对于y2a2
x2b2

1，下准线
l1

y


a2c
；上准线l2y
a2c
新疆王新敞
奎屯
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称新疆王新敞奎屯
焦点到准线的距离pa2ca2c2b2（焦参数）
c
c
c
y
PB2
x
A1F1OF2A2
B1
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：
焦点在x轴（左焦半径）r1

aex0（右焦半径）r2

aexe其中是离心率
0
新疆王新敞
奎屯
焦点在y轴
MF1
aey0MF2
aey0
FF其中
分别是椭圆的下上焦点
12
新疆王新敞
奎屯
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左新疆王新敞奎屯
加右减，上减下加新疆王新敞奎屯
PF1acPF2ac
推导：以焦点在x轴为例
如上图，设椭圆上一点Px0y0，在y轴左边
根据椭圆第二定义，PF1e，PM
则
PF1
ePM

e
x0



c2c



e
x0

a2c


ca

x0

a2c


a

ex0
f同理可得PF2aex0
三、通径：
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，弦AB
坐标：
A
c
b2a

，
B
c
b2a

弦AB长度：
2b2AB
a
四、若
P
是椭圆：
xa
22

y2b2
1上的点F1F2为焦点，若F1PF2
，则PF1F2的面积为
b2ta
2
推导：如图SPF1F2

12
PF1PF2si

根据余弦定理，得
cosPF2PF2F1F222PF1PF2
PF1PF22PF1PF24c22PF1PF2
4a22PF1PF24c22PF1PF2
4b22PF1PF22PF1PF2
得
PF1

PF2
2b21cos
SPF1F2

12
PF1

PF2

si



12b2
21cos
si

b2si
1cos
b2
ta
2
y
PB2
x
A1F1OF2A2
B1
f五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为Ax1y1Bx2y2则它的弦长
AB
1k2x1x2
1k2x1x224x1x2
11k2
y1y2
注实质上是由两点间距离公式推导出来的只是用了交点坐标设而不求的技巧而已因
为y1y2kx1x2，运用韦达定理来进行计算
当直线斜率不存在是则ABy1y2
六、圆锥曲线的中点弦问题：1椭圆中点弦的斜率公式：
设
M

x0

y0

为椭圆r