高中数学新课标中椭圆的常用结论
一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。二、通径：
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，弦AB
坐标：
A
c
b2a

，
B
c
b2a

弦AB长度：AB2b2a
三、若
P
是椭圆：
xa
22

y2b2
1上的点F1F2为焦点，若F1PF2
，则PF1F2的面积为
b2ta
2
推导：如图SPF1F2

12
PF1PF2si

根据余弦定理，得
cosPF2PF2F1F22
2PF1PF2PF1PF22PF1PF24c22PF1PF24a22PF1PF24c22PF1PF24b22PF1PF22PF1PF2
得
PF1
PF2
2b21cos
SPF1F2

12
PF1PF2si

12b221cos
si

b2si
1cos
b2
ta
2
1
f四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为Ax1y1Bx2y2则它的弦长
AB
1k2x1x2
1k2x1x224x1x2
1

1k2
y1y2
注实质上是由两点间距离公式推导出来的只是用了交点坐标设而不求的技巧而已因
为y1y2kx1x2，运用韦达定理来进行计算
当直线斜率不存在是则ABy1y2
五、圆锥曲线的中点弦问题：1椭圆中点弦的斜率公式：
设
M

x0

y0

为椭圆
x2a2

y2b2
1弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：kAB
kOM


b2a2
证明：设Ax1y1，Bx2y2，则有
y
kAB

y1y2x1x2
，

x12a2
x22
a2

y12b2
y22b2
11
两式相减得：
x12x22a2

y12y22b2
0整理得：
A
F1
O
y12x12
y22x22
b2a2
，即
y1y2y1y2x1x2x1x2


b2a2
，因为Mx0
y0是弦
AB的中点，所以
kOM

y0x0

2x02y0

y1y2x1x2
，所以kABkOM
b2a2
MF2Bx
2遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
2
f在椭圆x2a2

y2b2

1
中，以
M

x0

y0

为中点的弦所在直线的斜率
k－
ba
22
x0y0
；
由（1）得kABkOM
b2a2
kAB
b21a2kOM


b2a2

x0y0
六、椭圆的参数方程
x

y

acos为参数bsi

新疆王新敞
奎屯
七、共离心率的椭圆系的方程：
椭圆x2y21ab0的离心率是ecc
a2b2
a
a2b2，方程x2a2
y2
b2
tt是大于0的参
数，ab0的离心率也是ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程
a
例1、已知椭圆x2y21上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右焦点的距离为____2516
例2、如果椭圆x2y21弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369
例
3、已知直线
y


x

1
与椭圆
x2a2

y2b2
1a
b
0相交于
A、B两点，且线段
AB的
中点在直线l：x2y0上，则此椭圆的离心率为_______
例4、F是椭圆x2y21的右焦点，Ar