【例1】如图所示，在正方体ABCD1B1C1D1中，M、N分别是C1C、A的中点．求证：MN∥平面A1BD审题视点直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．证明
B1C1
法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
11则M0，1，2，N2，1，1，D000，A1101，B110，1→1于是MN＝2，0，2，设平面A1BD的法向量是
＝x，y，z．x＋z＝0，→则
→1＝0，且
＝0，得DADBx＋y＝0取x＝1，得y＝－1，z＝－1∴
＝1，－1，－1．1→
＝1又MN2，0，21，－1，－1＝0，→∴MN⊥
，又MN平面A1BD，∴MN∥平面A1BD法二→→→1→1→MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C
1→1→→＝2D1A1－D1D＝2DA1，→→∴MN∥DA1，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN平面A1BD，A1D平面A1BD，∴MN∥平面A1BD证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或
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证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．
【训练1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，
∴AB、AD两两垂直，A为坐标原点，AP、以建立如图所示的空间直角坐标系A则A000、xyz，B200、C220、D020、P002、E001、F011、G120．→→→∴PB＝20，－2，FE＝0，－10，FG＝11，－1，→→→设PB＝sFE＋tFG，即20，－2＝s0，－10＋t11，－1，
t＝2，∴t－s＝0，－t＝－2，
解得s＝t＝2
→→→∴PB＝2FE＋2FG，→→→→→又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面．∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG考向二利用空间向量证明垂直问题
【例2】如图所示，在棱长为1的正方体OABC1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的O动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz1求证A1F⊥C1E；2若A1，E，F，C1四点共面→1C→求证：A1F＝2A→1＋A1E1审题视点本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标．
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证明
1由已知条件
A1101，F1－x10，C1011，E1，x0，→→A1F＝－x1，－1，C1E＝1，x－1，－1，→C→则A1F1E＝－x＋r