x
u

ux

v
vx

0
所以
v

ux

u

vx

0
u0所以x
v0x
737
f即uC1vC2于是fz为常数
6argfz常数
证明：argfz常数，即
arcta


vu


C

vu
于是1vu2

u2
uvvuxx
u2u2v2

u2uvy
u2u2
vuy
v2
0
得
u

vx

v

ux

0
u

v

v

u

0
yy
CR条件→
u

vx

v
ux

0
u
vx

v
ux

0
uvuv0解得xxyy，即uv为常数，于是fz
为常数8设fzmy3
x2yix3lxy2在z平面上解析，求m
l的值解：因为fz解析，从而满足CR条件
u2
xyx
u3my2
x2y
v3x2ly2x
v2lxyy
uv
lxy
uv
3l3myx
所以
3l3m1
9试证下列函数在z平面上解析，并求其导数1fzx33x2yi3xy2y3i证明：uxyx33xy2vxy3x2yy3在全平面可微且
u3x23y2x
u6xyy
v6xyx
v3x23y2y
所以fz在全平面上满足CR方程，处处可导，处处解析
fzuiv3x23y26xyi3x2y22xyi3z2xx
2fzexxcosyysi
yiexycosyxsi
y
证明：
uxyexxcosyysi
yvxyexycosyxsi
y
处处可微，且
uexxcosyysi
yexcosyexxcosyysi
ycosyxuexxsi
ysi
yycosyexxsi
ysi
yycosyyvexycosyxsi
yexsi
yexycosyxsi
ysi
yxvexcosyysi
yxcosyexcosyysi
yxcosyy
uvuv所以xyyx
所以fz处处可导，处处解析
fzuivexxcosyysi
ycosyiexycosyxsi
ysi
yxx
excosyiexsi
yxexcosyiexsi
yiyexcosyiexsi
yezxeziyezez1z
10设
x3y3ix3y3
f

z


x2y2


0
z0z0
求证：1fz在z0处连续．
2fz在z0处满足柯西黎曼方程．
3f′0不存在．
limfzlimuxyivxy
证明1∵z0
xy00
limu
而xy00
xy

lim
xy00
x3x2

y3y2
∵
x3x2
r