fz除
z0
外处处可导，且
f
z


1iz2

6试判断下列函数的可导性与解析性
1fzxy2ix2y
637
f解：uxyxy2vxyx2y在全平面上可微
yy2x
u2xyy
所以要使得
v2xyx
vx2y
uvuvxy，yx只有当z0时从而fz在z0处可导，在全平面上不解析
2fzx2iy2
解：uxyx2vxyy2在全平面上可微
u2xx
u0y
v0x
v2yy
uvuv只有当z0时即00处有xyyy所以fz在z0处可导，在全平面上不解析3fz2x33iy3
解：uxy2x3vxy3y3在全平面上可微
u6x2x
u0y
v9y2x
v0y
所以只有当2x3y时，才满足CR方程
从而fz在2x3y0处可导，在全平面不解析
4fzzz2
解：设zxiy，则
fzxiyxiy2x3xy2iy3x2y
uxyx3xy2vxyy3x2y
u3x2y2x
u2xyy
v2xyx
v3y2x2y
所以只有当z0时才满足CR方程从而fz在z0处可导，处处不解析7证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数
1fz0
uu0vv0证明：因为fz0，所以xyxy所以uv为常数，于是fz为常数2fz解析
证明：设fzuiv在D内解析则
uvuvxyxy
uvv
yx
y
uvuvxyyx
uuuv而fz为解析函数，所以xyyx
vvvvuuvv0
所以xxyy即xyxy从而v为常数，u为常数，即fz为常数3Refz常数
uu0证明：因为Refz为常数，即uC1xy
uu0因为fz解析，CR条件成立。故xy即uC2从而fz为常数4Imfz常数
vv0证明：与（3）类似，由vC1得xy
uu0因为fz解析，由CR方程得xy即uC2
所以fz为常数5fz常数证明：因为fzC，对C进行讨论若C0，则u0v0fz0为常数
若C0，则fz0但fzfzC2，即u2v2C2
则两边对xy分别求偏导数，有
2uu2vv0
x
x
2uu2vv0
y
y
利用CR条件，由于fz在D内解析，有
uvxy
uvyr