2011年北京市高一数学竞赛决赛试题
一．选择题（每小题8分，满分40分）选择题（1．二次三项式xaxb的根是实数，其中ab是自然数，且ab2
22011
，则这样的二次
三项式共有____________个2．如图，在半径为1的圆O中内接有锐角三角形ABC，H是ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC___________________3．已知定义在R上的函数fxx2和gx2x2m，Fxfgxgfx的若最小值为
1，则m__________________4
4．ta
375_____________________
o
5．设fx
1x，定义f1xffx，f
xff
1x，
23，则13x
f20112011________________
（D设二．满分15分）是正ABC的边BC上一点，ABD与ACD的内心分别为I1，I2，外心分别为O1，O2，求证：I1O12I2O22I1I22
f（三．满分15分）
是正整数，求方程2011的所1231011有正整数解
xx
x
x
x
（满分四．满分15分）平面上的
个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称（这样的
个点为“标准
点组”要使一个半径为1的圆纸片对任意“标准
点组”都能至少盖住其中的25个点，试求
的最小值
f（满分五．满分15分）已知函数fR→R，使得对任意实数xyz都有（
111fxyfxzfxfyz≥，224
求1f12f23f32011f2011的值
fr