……………2分
1x2x1x2x
而
1
x
x1………………3分
1x
0
111xx2x2………………4分2x222
7
f所以
1
1xx211xx2………………5分
1x2x
222
0
1
12
1
x
………………6
分
成立范围x1………………7分
四、解答题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)1抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。解:设椭圆上任一点P的坐标为Pxyz,P点满足抛物面和平面方程。原点
到这椭圆上任一点的距离的平方为x2y2z2,………………1分
构造拉格朗日函数
Fx2y2z2x2y2zxyz1………………2分
Fx2x2x0
Fy2y2yFz2z
0
0
………………4
分
F
x2
y2
z
0
Fxyz10
解得x113………………5分2
得两个驻点为
P1
12
3122
322
3
P2
12
3122
322
3
…………………6分
所以最短距离为953,最短距离为953………………7分
2求幂级数1
x
的和函数。
1
1
解:因为exx
,所以ex1
x
,………………1分
0
0
Sx1
x
1
11x
………………2分
0
1
0
1
8
f1
x
1
x
………………3分
0
0
1
1
x
ex………………4分
0
装
1
x
11
x
111
1x
1
0
1x
0
1
x
0
1
1x
1
1
x
1x
0
1
x
1
x0…………5分
订
所以
111
x
11ex
xx
0
xx
Sxex11exx0x
故Sxex11exx0……6分x
线
当x0时,Sx0。………7分
另解:
当x0时,1
x
1
1
1x
1
x
1
1
1
1x
1
1
1
x0
x
dx
1x
x0
1
1
x
1
dx
1x
x0
x
1
1
1x
1
1
dx
1x1
x
x
dx
x0
0
1xxexdxx0
1xxdexx0
1xexex1xex1ex1
xx
当x0时,Sx0。
3设函数fx和gx有连续导数,且f01,g00,L为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L围成的平面区域为D,已知
9
f求fx和gx。
Lxydxyfxgxdyygxd,
D
解:由格林公式得
yfxgxxdxdyygxdxdy………………2分
D
D
即yfxgxxygxdxdy0………………3分
D
由于区域的任意性,yfxgxxygx0………………4分
又由于y的任意性,有fxgx,gxx……………5分
又由f01,g00得,gxx2………………6分2
所以fxx31………………7分6
10
fr