x＞0，fx单调递增，当＜x＜时，f′x＜0，fx单调递减，2229所以当x＝时，fx取到最大值，此时S有最大值．2即MN＝x＝45m时，通风窗的面积最大．18．（本小题满分16分）…………14分
fx2y221如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1a＞b＞0的离心率为，直线l：y＝xab22与椭圆E相交于A，B两点，AB＝25．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．
DNOB第18题图xyMCA
c211解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．……2分a222x2y2故椭圆方程为2＋2＝1．2bb由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．
y＝2x，233由解得Ab，b．xy332b＋b＝1，
2222
1
41又AB＝25，所以OA＝5，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．33故a＝6，b＝3．………………5分x2y2＋＝1，从而A2，1，B－2，－1．63
（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，Cx0，y0，显然k1≠k2．x2x231－0－12－0162y－1y＋1y－1从而k1kCB＝00＝02＝＝2＝－．2x0－2x0＋2x0－4x02－4x0－4
2
1所以kCB＝－．2k11同理kDB＝－．2k2
……………………8分
1于是直线AD的方程为y－1＝k2x－2，直线BC的方程为y＋1＝－x＋2．2k1
x＝2k1k2＋1，y＋1＝－1x＋2，2k1由解得－2k1k2－4k2＋1y－1＝k2x－2，y＝．
4k1k2－4k1－2

2k1k2＋1
f4kk－4k1－2－2k1k2－4k2＋1从而点N的坐标为12，．2k1k2＋12k1k2＋14kk－4k2－2－2k1k2－4k1＋1用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为12，．2k1k2＋12k1k2＋1…………11分－2k1k2－4k2＋1－2k1k2－4k1＋1－2k1k2＋12k1k2＋14k－k所以kMN＝＝12＝－1．4k1k2－4k1－24k1k2－4k2－24k2－k1－2k1k2＋12k1k2＋1即直线MN的斜率为定值－1．………14分
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C2，－1．1仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．2k221此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－x＋2，它们交点M2，－1－．k22k22BC：y＝－1，AD：y－1＝k2x－2，它们交点N2－，－1，k2从而kMN＝－1也成立．由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．方法二：由（1）知，椭圆E的方程为…………16分
x2y2＋＝1，从而A2，1，B－2，－1．63
①当CA，CB，DA，DB斜率r