面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：1平面方程的求法2两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：
一、平面的点法式方程1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2．平面的点法式方程
已知平面上的一点M0x0y0z0和它的一
个法线向量
ABC，对平面上的任一点
Mxyz，有向量M0M
，即
M0M0
代入坐标式有：
Axx0Byy0Czz00
此即平面的点法式方程。
（1）
f22
例1：求过三点M1（2，－1，4）、M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）
的平面方程。
解：先找出这平面的法向量
，ijk
M1M2M1M334614i9jk231
由点法式方程得平面方程为
14x29y1z40
即：
14x9yz150
二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
AxByCzD0
几个平面图形特点：1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为CZD0，法线向量00C，方程表示一个平行于xoy面的平面。
同理：AXD0和BYD0分别表示平行于yoz面和xoz面的平
面。
4）反之：任何的三元一次方程，例如：5x6y7z110都表示
一个平面，该平面的法向量为
567
f23
例2：设平面过原点及点632，且与平面4xy2z8垂直，求此平
面方程。
解：设平面为AxByCzD0，由平面过原点知D0
由平面过点632知6A3B2C0，




412
4AB2C0
AB2C
3
所求平面方程为2x2y3z0三．两平面的夹角
定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面1A1xB1yC1zD10，2A2xB2yC2zD20



1A1B1C1，
2A2B2C2按照两向量夹角余弦公式有：
cos
A1A2B1B2C1C2
A12B12C12A22B22C22
三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为
1A1B1C1和

2A2B2C2
1两平面垂直：A1A2B1B2C1C20（法向量垂直）
2两平面平行：A1B1C1A2B2C2
（法向量平行）
3平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0x0y0z0，平
面的方程为AxByCzD0，则点到平面的距离为
dAx0By0Cz0DA2B2C2
f24
例r