os

az


a
ax
a
2x

a
2y

a
2z
ay
a
2x

a
2y

a
2z
az
a
2x

a
2y

a
2z
◆任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21
◆与非零向量a同方向的单位向量为：
a0

a

1axayazcoscoscos
aa
3．例子：已知两点M1222、M2130，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同向的单位向量。
解：M1M2＝12，32，021，1，2M1M21212222
cos1，cos1，cos2
2
2
2
2，，3
3
3
4
设a0为与M1M2同向的单位向量，由于a0coscoscos
即得
a0112222
f11
小结：本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
作业：
f12
第四节数量积向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：1数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2向量平行、垂直的应用
教学难点：1活学活用数量积、向量积的各种形式2向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a定义：ababcos，式中为向量a与b的夹角。
b物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为
WFscos其中为F与s的夹角。
c性质：Ⅰaaa2Ⅱ两个非零向量a与b垂直ab的充分必要条件为：ab0ⅢabbaⅣabcacbc
Ⅴacac
d几个等价公式：
为数
f13
Ⅰ坐标表示式：设aaxayaz，bbxbybz则
abaxbxaybyazbz
Ⅱ投影表示式：abaPrjabbPrjba
Ⅲ两向量夹角可以由cosab式求解ab
e例子：已知三点M111、A221和B212，求AMB


提示：先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。
二、向量积：
a概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：
c的模cabsi
，式中为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。
※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。
b公式：cabf性质：Ⅰaa0
Ⅱ两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：
ab0ⅢabbaⅣabcacbc
Ⅴacacac
为数
c几个等价公式：
Ⅰ坐标表示式：设aaxayaz，bbxbybz则
f14
abaybzazbyiazbxaxbzjaxbyaybxk
ijkⅡ行列式表示式：abaxayaz
bxbybz
d例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A123、B345和
C247，求三角形ABC的面积。
解：r