，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量
AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。
2．投影定理
性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余
弦：PrjuABABcos
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的
和，即
Prjua1a2Prja1Prja2
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘
法。即
PrjuaPrja
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设aM1M2是以M1x1y1z1为起点、M2x2y2z2为终点的向
量，i、j、k分别表示
图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由
图7－5，并应用向量的加法规则知：
M1M2x2x1iy2y1jz2z1k
f8
或
aaxiayjazk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投
影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a＝ax，ay，az。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为M1x1y1z1终点为M2x2y2z2的向量可以表示为
M1M2x2x1y2y1z2z1特别地，点Mxyz对于原点O的向径
OMxyz
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk
2．向量运算的坐标表示
设aaxayaz，bbxbybz即aaxiayjazk，
bbxibyjbzk
则
1加法：abaxbxiaybyjazbzk
◆减法：abaxbxiaybyjazbzk
◆乘数：aaxiayjazk
◆或
abaxbxaybyazbz
abaxbxaybyazbz
f9
aaxayaz◆平行：若a≠0时，向量ba相当于ba，即bxbybzaxayaz
也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybzaxayaz
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设aaxayaz，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，
小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7
－6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。
1．模
a
a
2x

a
2y

a
2z
2．方向余弦

a
x

M1M2
cos

a
cos
由性质1知ayM1M2cosacos，当

azM1M2cosacos
a
a
2x

a
2y

a
2z
0时，有
f10
cos

ax


a
cos

aya

cr