，222
→x＝0，
1DA＝0，y，z是平面ADM的法向量，则即xy2→＋＋z＝0，
1DM＝0，222
∴可取
1＝0，2，－1．

2DC＝0，同理，设
2＝u，v，w是平面CDM的法向量，则→
2DM＝0，
v＝0，即uv2＋＋w＝0，222
→
7
f1∴可取
2＝2，0，－1，∴cos〈
1，
2〉＝，3显然二面角A－DM－C的大小为钝角，1∴所以二面角A－DM－C的余弦值为－3
111证明法一过E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC
图1π所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC2又EO⊥BC，FO∩EO＝O，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC法二由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂
图2直BC的直线为z轴，建立如图2所示空间直角坐标系．易得B0，0，0，A0，－1，3，
D3，－1，0，C0，2，0．因而E0，，
→→→→→

12
→33133，F，，0，所以EF＝，0，－，22222
BC＝0，2，0，因此EFBC＝0从而EF⊥BC，所以EF⊥BC
2解法一在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，∴EO⊥BF，又OG⊥BF，EO∩OG＝O，∴BF⊥平面
BOG，∴EO⊥BF
因此∠EGO为二面角E－BF－C的平面角．
8
f113在△EOC中，EO＝EC＝BCcos30°＝，222由△BGO∽△BFC知，OG＝FC＝因此ta
∠EGO＝＝2，2525从而si
∠EGO＝，即二面角E－BF－C的正弦值为55法二在图2中，平面BFC的一个法向量为
1＝0，0，1．设平面BEF的法向量
2＝x，y，z，又BF＝
→
BOBC
3，4
EOOG
331→1，，0，BE＝0，，2222
→

2BF＝0由得其中一个
2＝1，－3，1．→
2BE＝0
设二面角E－BF－C大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cosθ＝cos〈
1，
2〉＝2

1
2＝1，
1
25
因此si
θ＝
2525＝，即所求二面角的正弦值为555
12．1证明∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝2，又∵AD＝2，AB＝2，∴AD＋BD＝AB，则∠ADB＝90°∴AD⊥BD，又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD＝AD，∴ED⊥面ABCD，∴BD⊥ED，又∵AD∩DE＝D，∴BD⊥面ADEF，BD面BDM，∴面BDM⊥面ADEF2解在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，
222
9
f∴以D为坐标原点，DN为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系．∴B1，1，0，C0，1，0，E0，0，2，
N1，0，0r