yzdxzl
xdyyl
xdz
xxyzyzdxzl
xdyyl
xdz
x2求函数zl
1x2y2，当x1y2时的全微分
解
dz

2xdxydy1x2y2
dz
12

2dx2dy114

23
dx

2dy
3求函数z

yx
，当
x2y1x01y02时的全增量与全微分
解
xdyydx
20201
dz
x2
dz21
4
0125
z

yx
201102

yx
21
0821
12
162142

0542

0119
4研究函数
f
x
y

x2

y2si

x2
1
y2
xy00
在点00处的可微性
0
xy00
解
由于limx0
fxylimx2x0
y2si

x2
1
y2
0
f00，所以
fxy在点00连续，
y0
y0
又
fx00

lim
x0
f
x0x
f
00

lim
x2
si

1x2
x0
x
0

limxsi
x0
1x2
0
f
y
0
0

lim
y0
f
0yy
f00

lim
y2
si

1y2
x0
y
0
limysi
x0
1y2
0
又fxyf00x2y2si
1x2y2
所以fxyf00fx00xfy00yx2y2
x2

y2
si

x2
1
y2
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limfxyf00fx00xfy00ylim
x0y0
x2y2
x0y0
所以fxy在点00处可微
x2
y2
si

x2
1y2
0
5计算10231973的近似值
解：令fxyx3y3，则dfxy3x2dxy2dy，2x3y3
再设x0y012x002y003
则10231973fx0xy0yfx0y0df
13233002120033006036295
21323
6
6已知边长x6my8m的矩形，如果x边增加5cm，而y边减少10cm，求这个矩形的对
角线的长度变化的近似值
解：对角线长为fxyx2y2，则dfxyxdxydy，x2y2
所以f60579f68df68
628260058011005995
6282
10
第四节多元复合函数的求导法则
本节主要概念，定理，公式和重要结论
复合函数的求导法则（链式法则）如下：
1设uxyvxy在xy可偏导，zfuv在相应点有连续偏导数，则
zfxyxy在xy的偏导数为
zfufvxuxvx
zfufvyuyvy
2推广：
1多个中间变量：设uxyvxy，wxyzfuvw则
zfxyxyxy且
zfufvfwxuxvxwx
zfufvfwyuyvywy
2只有一个中间变量：设uxyzfxyu则zfxyxy且
zfufxuxx
zfufyuyy
3只有一个自变量：设utvt，wt则zfttt且
dzfdufdvfdwdtudtvdtwdt
习题8－4
1求下列复合函数的一阶导数
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1zex2yxsi
tyt3
解r