x
f00
00lim
x0x
0
f0yf00
00
f
y
0
0

lim
y0
y
lim0y0y
fxx
y

y
x4
4x2y2x2y22
y4

x2

y2

0
fy
x
y

x
x4
4x2x2
y2y22
y4

x2

y2

0
f
xy
0
0

lim
y0
fx0yy
fx00

lim
y0
y5y4
0
y

1
fyx00

lim
x0
fxx0x
fx00
limx0
x5x4

0
x
1
11
5设zexy，
求证x2zy2z2z
xy
解
zx

1x2

e
1x

1y


z
y

1y2
11
exy
x2
zx

y2
zy

x2

1x2
11
exy

y2

1y2
11
exy

11
2exy

2z
6设rx2y2z2，证明2r2r2r2x2y2z2r
证明rx
xx2y2z2

xr

2rx2
rxrx
r2

rx2r
r2

r2x2r3
由轮换对称性
2ry2

r2y2r3
2rz2

r2z2r3
2r2r2r2r2x2y2z2r21
x2y2z2
r3
r3r
第三节
全微分
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本节主要概念，定理，公式和重要结论
1全微分的定义
若函数zfxy在点x0y0处的全增量z表示成
zAxByo
x2y2
则称zfxy在点x0y0可微，并称AxByAdxBdy为zfxy在点x0y0的全微分，记作dz2可微的必要条件：若zfxy在x0y0可微，则
（1）fxy在x0y0处连续；（2）fxy在x0y0处可偏导，且Afxx0y0Bfyx0y0，从而
dzfxx0y0dxfyx0y0dy一般地，对于区域D内可微函数，dzfxxydxfyxydy3可微的充分条件：若zfxy在x0y0的某邻域内可偏导，且偏导数在x0y0处连续，则zfxy在x0y0可微。
注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。
习题8－3
1求下列函数的全微分
1zl
x2y2
2zarcta
xy1xy
解
dz

12
dl

x2

y2

12
dx2y2x2y2

xdxx2

ydyy2
2zarcta
xy1xy
解
dz

1

1x
y
2
dxy1xy
1xy

1
1xy2xy2x
y2
1
xydx
dyx1xy2
yydx

xdy

1y2dxx21dy1xy2xy2
3zysi
xy0
解dzdesi
xl
yesi
xl
ydsi
xl
yysi
xcosxl
ydxsi
xdyy
4uzx2y2
解dud
zx2y2
x2y2dzzdx2y2
x2y2

x2y2dzzxdxydyx2y2
x2y2
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x2

y2
dz

zxdx
3

ydy
x2y22
5uexx2y2z2解dudexx2y2z2exx2y2z2dxx2y2z2dxx2y2z2x2y2z2dxx2xdx2ydy2zdz3x2y2z2dx2xydy2xzdz
所以dudexx2y2z2exx2y2z23x2y2z2dx2xydy2xzdz
6uxyz解dudxyzdeyzl
xeyzl
xr