0
yy
f
x0
y0

fx
x0

y0

的几何意义为曲线
z
y
fxy0
y
在点
M
x0

y0
f
x0
y0

处的切线对
x
轴
的斜率
fxy在任意点xy处的偏导数fxxy、fyxy称为偏导函数，简称偏导数求fxxy时，只需把y视为常数，对x求导即可
2高阶偏导数
zfxy的偏导数fxxyfyxy的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称
为三阶偏导数，如此类推二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：
2x
z
2

2y
z
2

2zxy

2zyx
，其中后两个称为混合偏导数
若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序高阶混合偏导数
也有类似结果
习题8－2
1求下列函数的一阶偏导数
1zxxyy
解：
zx

1y

y
zy


xy2

x
2zarcta
yx
解：
zx

11y2

yx2

yx2y2

zy

11y2

1x

x2
x
y2
x
x
3zl
xx2y2
解：z
1
1x1
xxx2y2
x2y2
x2y2
z
1
y
y
yxx2y2x2y2xx2y2x2y2
4ul
x2y2z2
解：
ux

x2
2xy2

z2

uy

x2
2yy2
z2

uz

x2

2zy2

z2
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5uyzet2dtxz
解：uzex2z2uzey2z2uyey2z2xex2z2
x
y
z
6
z

si

xy
cos
yx
解：
zx

1y
cos
xy
cos
yx

yx2
si

xy
si

yx

uy


xy2
cos
xy
cos
yx

1x
si

xy
si

yx
7z1xyxy
8uecos
解：z1xyxyl
1xyxyyu1xyxyl
1xyxyx
x
1xyy
1xy
8uecos
解：uecossi
uecossi



2求下列函数在指定点处的一阶偏导数
（1）zx2y1arcsi

xy
，求zx01
解：zx01

x2limx0x
0
（2）z

x2ey

x
1arcta
yx
，求zy10
解：
z
y
1
0

lim
y0
ey1y

1
3求下列函数的高阶偏导数
1zxl
xy，求2z，2z，2zx2y2xy
解：zl
xy1zx
x
yy
2z12z
x2z1

x2xy2y2xyy
2zcos2x2y，求2z，2z，2z，2zx2y2xyyx
解：z2cosx2ysi
x2ysi
2x2yx
z4cosx2ysi
x2y2si
2x2yy
2zx2

2cos2x

2y
2zy2

8cos2x

2y
2zxy

4cos2x

2y
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3zx2y2etdt，求2z，2z
x
x2xy
解：
zx

2xex2y2
ex2zx2

212x2ex2y2
ex2zxy

4xyex2y2
4设
f
x
y


x3yx2

xy3y2
0
x2y20，求fxy00和fyx00x2y20
解：
fx00
limx0
f
x，0r