解三角形高考大题，带答案
1（宁夏17）（本小题满分12分）
如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB90，BD交AC于E，
AB2．（Ⅰ）求cos∠CAE的值；
DC
（Ⅱ）求AE．
E
解：（Ⅰ）因为∠BCD9060150，
CBACCD，
A
B
所以∠CBE15．
所以cos∠CBEcos453062．6分4
（Ⅱ）在△ABE中，AB2，
由正弦定理
AE

2
．
si
4515si
9015
故AE2si
30
212
62．12分
cos15
62
4
2（江苏17）（14分）
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB20km，
BC10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与
等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总
长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAOθrad，将y表示成θ的函数关系式；
②设OPxkm，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。
D
P
C
【解析】：本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
O
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAOθrad，A则OAAQ10，BcosBAOcos
故OB10cos
又OP1010ta
，所以yOAOBOP10101010ta
coscos
f所求函数关系式为y2010si
100
cos
4
②若OPxkm，则OQ10x，所以OAOB10x2102
x220x200
所求函数关系式为yx2x220x2000x10
（2）选择函数模型①，
y


10cos
cos
2010si
si
cos2

102si
cos2
1
令y0得si
12
0
4
6
当0时y0，y是θ的减函数；当时y0，y是θ的增函数；
6
64
所以当

6
时，
ymi


20103
12
10
10
310
2
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边103km处。3
3（辽宁17）（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C．3
（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b；（Ⅱ）若si
B2si
A，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，a2b2ab4，
又因为△ABC的面积等于3，所以1absi
C3，得ab4．4分2
联立方程组
a2ab
b24，
ab

4，解得
a

2
，
b

2
．
6
分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b2a，r