曲线C的普通方程为y8x
2
………………2分………………4分
由题设直线m与曲线C交于A、B两点，可令Ax1y1Bx2y2联立方程
y28xxy6
，解得y28y6，则有y1y28，y1y248………………7分
于是AB
x1x2y1y2
22
11y1y2
2
2
2yy24y1y216
2
1
2
故AB162D．证明：由题设x＞0，y＞0，x＞y，可得x－y＞0
………………10分………………2分
111因为2x＋2－2y＝2x－y＋＝x－y＋x－y＋x－2xy＋y2x－y2x－y2………………5分又x－y＋x－y＋11≥33xy23，等号成立条件是x－y＝1x－y2xy2
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f………………9分11所以，2x＋2－2y≥3，即2x＋2≥2y＋3．x－2xy＋y2x－2xy＋y2……………10分
22．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则
zA1B1
C1
A000E202A1006F024，从而
F

AE202A1F022

………………2分
EACyBx
记AE与A1F的夹角为，则有
AEA1Fcos
AEA1F
488

12

又由异面直线AE与A1F所成角的范围为0，可得异面直线AE与A1F所成的角为60………………4分
（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为
和m，则由题设可令
1yz，且有平面ABC的法向量为mAA006AF024AE2021由
AF0，得2y4z0；由
AE0，得22z0所以z1y2，即
121记平面AEF与平面ABC所成的角为，有cos………………8分




m
m

666

66

由题意可知为锐角，所以cos
66

………………10分
23解：（1）S5＝3，S7＝1（2）由题设ai的定义可知，对于每个正整数k，有
………………2分
a4k3a2k1a4k2a4k1a4ka2kak
则S4k
kk
①②……………4分
a4i3a4i2a4i1a4i02ai2Sk，③
i1i1
S4k2S4ka4k1a4k2S4k
下面证明对于所有的
≥1，S
≥0
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④……………6分
f对于k，用数学归纳法予以证明当i＝1，2，3，4，即k0时，S1＝1，S2＝0，S3＝1，S4＝2假设对于所有的i≤4k，Si≥0，则由①、②、③、④知，S4k4＝2Sk1≥0，S4k2＝S4k≥0，S4k2＋S4k4S4k3＝S4k2＋a4k3＝S4k2＋a4k4＝S4kr