1
4
9
16

116
109
88
53
4
显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求．
当y4时，原方程为x24x30，此时x11x23；
当y＝－4时，原方程为x24x30，此时x31x43．
所以，原方程的整数解为
x11

y1

4
x23

y2

4
x31

y3

4
x43

y4

4
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶
km．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量
为k安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k又设一对新轮胎交换位置前
5000
3000
走了xkm，交换位置后走了ykm分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程有


kx5000
ky5000

ky3000
kx3000

kk

初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共8页）
f两式相加，得
kxykxy2k，50003000
则
xy
1
2
1
3750．
50003000
（7）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延
长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交
AH
于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AB的值为
．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．
由题设知AC1AD，有AB1AE，在△FHA和△EFA中，
3
3
EFAFHA90，FAHEAF．
所以
Rt△FHA∽Rt△EFA，
AHAFAFAE
AH而AFAB，所以AB
13
（第7题）
（8）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1a2a3a4a59的五个互不相同
的整数，若b是关于x的方程xa1xa2xa3xa4xa52009的整数根，
则b的值为
．
【答】10．
解：因为ba1ba2ba3ba4ba52009，且a1，a2，a3，a4，a5
是五个不同的整数，所以ba1，ba2，ba3，ba4，ba5也是五个不同的整数．
又因为2009117741，所以
ba1ba2ba3ba4ba541．由a1a2a3a4a59，可得b10．
初中数学竞赛复赛试题答案第4页（共8页）
f（9）如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，
CD＝12，则CE的长等于
．
【答】602．7
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且ACB90．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由ECF1ACB45，得CF＝x，于是2
BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
EFBF，ACBC
即
x20x，
1520
解得x60．所以r