“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分）
（1）已知非零实数a，b满足2a4b2a3b242a，则ab等于
（）．（A）－1
【答】C．
（B）0
（C）1
（D）2
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b2a3b20，于是
a3，b2，从而ab＝1．
（2）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（A）512
（B）512
（C）1
（D）2
（第2题）
【答】A．
解：因为△BOC∽△ABC，所以BOBC，即1a，ABACaa1
所以，a2a10．由a0，解得a15．2
（3）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投
掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组
axby3，x2y2
只有正数解的概率为（
）．
（A）112
【答】D．
（B）29
（C）518
（D）1336
初中数学竞赛复赛试题答案第1页（共8页）
f解：当2ab0时，a为正整数，方程组无解．
当
2a

b

0
时，方程组的解为

x


y

62b2ab2a32ab

由已知，得
62b
2ab

2a

3
2ab

00
即
2ab
a

32
b3

0
或
2ab
a

32
b3

0
由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
ab
2，3，4，5，6，共有1，2，
5×2＝10
种情况；或
ab

1，共4，5，6，
3
种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为13．36
（4）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，B90．动点P从点B出发，
沿梯形的边由B→C→D→A运动设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作
x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）．
（A）10
（B）16
（C）18
（D）32
图1图2
【答】B．
（第4题）
解：根据图象可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝1×8×4＝162
（5）关于x，y的方程x2xy2y229的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组【答】C．
（B）3组
（C）4组
（D）无穷多组
初中数学竞赛复赛试题答案第2页（共8页）
f解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2yx2y2290．
由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．
由
y242y2297y2116≥0，
解得y2≤1161657．于是7
y2
0
r