22
－＋11
1－2
1
12
－132
＋3
＝2＋1－2
－1－2
＋1＝2－2
＋1
所以T
＝3－2
2＋
3
热点二a
与S
的关系问题【例2】2017济南模拟设数列a
的前
项和为S
，对任意的正整数
，都有a
＝5S
＋1成立，b
＝－1－log2a
，数列b
的前
项和为T
，c
＝Tb
T
＋
＋111求数列a
的通项公式；2求数列c
的前
项和A
，并求出A
的最值解1因为a
＝5S
＋1，
∈N，所以a
＋1＝5S
＋1＋1，两式相减，得a
＋1＝－14a
，
又当
＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－14，
所以数列a
是公比、首项均为－14的等比数列
所以数列a
的通项公式a
＝－14
2b
＝－1－log2a
＝2
－1，数列b
的前
项和T
＝
2，c
＝Tb
T
＋
＋11＝
2（2
＋＋11）2＝
12－（
＋11）2，
所以A
＝1－（
＋11）2
因此A
是单调递增数列，∴当
＝1时，A
有最小值A1＝1－14＝34；A
没有最大值
探究提高1给出S
与a
的递推关系求a
，常用思路是：一是利用S
－S
－1＝a
≥2转化为a
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S
的递推关系，先求出S
与
之间的关系，再求a
2形如a
＋1＝pa
＋qp≠1，q≠0，可构造一个新的等比数列
f【训练3】2017梅州质检设数列a
的前
项和为S
，且S
＝2－2
1－1，b
为等差数列，且a1＝b1，a2b2－b1＝a11求数列a
和b
的通项公式；2设c
＝ba
，求数列c
的前
项和T
解1当
＝1时，a1＝S1＝1当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝2－2
1－1－2－2
1－2＝2
1－1，此式对
＝1也成立，∴a
＝2
1－1
∈N，从而b1＝a1＝1，b2－b1＝aa12＝2又因为b
为等差数列，∴公差d＝2，∴b
＝1＋
－12＝2
－12由1可知c
＝2
1－1＝2
－12
－1，
2
－1所以T
＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋2
－12
－1，①2T
＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋2
－32
－1＋2
－12
，②①－②得：－T
＝1＋22＋22＋…＋2
－1－2
－12
＝1＋4（11－－22
－1）－2
－12
＝1＋2
＋1－4－2
－12
＝－3－2
－32
∴T
＝3＋2
－32
热点三数列与函数、不等式的综合问题【例3】2017惠州三调在数列a
中，点a
，a
＋1在直线y＝x＋2上，且首项a1＝11求数列a
的通项公式；2数列a
的前
项和为S
，等比数列b
中，b1＝a1，b2＝a2，数列b
的前
项和为T
，请写出适合条件T
≤S
的所有
的值解1∵点a
，a
＋1在直线y＝x＋2上，且a1＝1∴a
＋1＝a
＋2则a
＋1－a
＝2，因此数列a
是公差为2，首项为1的等差数列∴a
＝1＋2
－1＝2
－12数列a
的前
项和S
＝
（1＋22
－1）＝
2，等比数列b
中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3
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