坐标原点，
∴x1x2y1y20即2x1x2x1x210．
2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准第5页共7页
f2a21b22a2210．即a2b22a2b20．222abab22ab177Qe2，∴a2b2．2a46822xy故椭圆的方程为1．77682222（2）证明：由（1）有ab2ab0，证明：证明∴
2211221．∴221，即2a2ba2b2
则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P14．（1）证明：∵
k
λ证明：证明∴a
k
λ
k1
k1
2
2
2222．
∵kλ为非零常数，∴数列a
是等差数列．（2）解：∵
k
λ解∴bk
k
λ∴
k1k1
∴a
1a
1λ

123L．
k1
（
k∈Nλ为非零常数），

λk1λk1．
（
k∈Nλ为非零常数），
k123L．
∵λ为非零常数，∴数列bk是等比数列．（3）解：∵
k
λ解∴c

λ
1
bk1
λkk1λ．bk
λ
k1
（
k∈Nλ为非零常数），
．①
S
c1c2Lc
λ02λ3λ2L
λ
1，
当λ1时，S
12L
当λ≠1时，

1
2
．
①②得：1λS
1λλLλ
2
λS
λ2λ23λ3L
λ
．
1λ

②
1

λ，

∴S

1λ
2

λ
，1λ

1当λ1时2综上可知，S

1λ
λ当λ≠1时1λ21λ
15．（1）解：解
fxF1log2x33x11log2x
3


3
3x
x33x，
3由log2x3x0，得x3x1．
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f15，43由f′x0，得x±。23Qx33x1，∴x．23939又f，∴切点为．2828
又f′x3x3
2
∴存在与直线4x15y30垂直的切线，其方程为y
即15x4y270．
9153x，842
（2）解：gxF1log2xaxbx1xaxbx1．解
3232


由log2x3ax2bx10，得xaxbx0．
32
由g′x3x22axb8，得b3x2ax8．
2
x3ax2bxx3ax2x3x22ax82x3ax28x0在x∈14上
有解．
∴2x2ax80在x∈14上有解得a2x
8在x∈14上有解，x
8∴a2xx∈14．xmax
而2x
r