求积公式为插值型求积公式。
f知道了插值型求积公式以及其构造方法。为了便于计算与应用，常将积分区间的等分点作为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿科特斯（Newto
Cotes）求积公式。在积分区间ab上取
1个等距节点xkakhk01
，其中
hba，做
次拉格朗日插值多项式L
x，因为fxL
xR
x，所以
bbaa

b
a
fxdxL
xdxR
xdx
bb1fxklkxdxf
1
1xdxaa
1k0
记
Aklkxdx
a
b
b
a

1xdxxxk
1xk
14
R
f
b1f
1
1xdxa
1
15
截去第二项得

b
a
fxdxAkfxk
k0


显然Ak与fx无关，只与节点xkk01时，t0
，于是
令xath，则当xab
有关。

1x
1athh
1tt1t2t
而
16

1xkxkx0xkx1xkxk1xkxk1xkx
h
k1
k
k
从而得Ak记
1
kh
tt1k
k0
tk1tk1
t
dt
Ck
则

1
ktt1k
k
0
tk1tk1
t
dt
17
AkbaCk

f故求积公式13可写成

b
a
fxdxbaCk
fxk
k0


18
这就是牛顿科特斯求积公式，其中Ck称为科特斯系数。部分科特斯系数取值如下表11科特斯系数具有以下特点1（1）


C
0


i
1
（2）

Ci
C
i
（3）当
8时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当
较大时，由于Ru
ge现象，收敛性也无法保证。故一般不采用高阶的牛顿科特斯求积公式。（4）当
7时，牛顿科特斯公式是稳定的。
表11部分科特斯系数表
知道了什么是牛顿科特斯求积公式，下面我们来看它的误差估计，首先来看看牛顿科特斯求积公式的截断误差。我们知道牛顿科特斯求积公式是一个插值型数值求积公式，当用插值多项式L
x代替fx进行积分时，其截断误差Rf即积分真值I和近似值之差，推导如下
fRfIfxdxfxdxL
xdx
bbbaaa
b
a
由插值多项式fxL
xdx，
的误差估计可知，用
次拉格朗日多项式L
x逼近函数时产生的误差为
fxL
x
0i

b
a
f
1
1xdx
1
19
其中
1xxr