xiab。对上式两边从a到b作定积分，便可得出它的截断误差
R
f
b1f
1
1xdxa
1
110
二、几个低次牛顿科特斯求积公式
从上面的讨论可知，用多项式近似代替被积函数进行数值积分时，虽然最高次数可是8，但是8次多项式的计算式非常繁杂的。常用的是下面介绍的几种低次多项式。
1、矩形求积公式
定义11在牛顿科特斯求积公式中，如果取
0，用零次多项式（即常数）代替被积函数，即用矩形面积代替曲边梯形的面积，则有

b
a
0fxdxL0xdxbac0fx0bafx0a
b
111
称式111为矩形求积公式根据牛顿科特斯求积公式的误差理论式110，矩形求积公式的误差估计为
R0f
f01b01xdxfba01a
2、梯形求积公式
定义121在牛顿科特斯求积公式中，如果取
1，用一次多项式代替被积函数，即用梯形面积代替曲边梯形的面积，则有
f
b
a
1fxdxL1xdxbac0fx0c11fx1a
b
1c11其中，fx0fafx1fb查表可得c0
1代入上式得出2

b
a
fxdxL1xdx
a
b
bafafb2
112
称式112为梯形求积公式由于用一次多项式L1x近似代替被积函数fx，所以它的精度是1。也就是说，只有当被积函数是一次多项式时，梯形求积公式才是准确的。根据牛顿科特斯求积公式的误差理论式110，梯形求积公式的误差估计为
R1f
f2bba3xaxbdxf2a12
f是被积函数fx二阶导数在x点的取值，ab
3、辛浦生求积公式
定义132在牛顿科特斯求积公式中，如果取
2，用二次多项式代替被积函数，即曲边用抛物线代替，则有
bb

上式得出
a
22fxdxL2xdxbac0fx0c12fx1c2fx2a
其中，x0a，x1
ab12222，x2b查表可得c0c2，c1，代入263

b
a
b12ab1fxdxL2xdxbafaffba6326
113
称式113为辛浦生求积公式，也称抛物线求积公式。它的几何意义是：用过3个点afa，
ababf，bfb的抛物线和xa，xb构成22
的曲边梯形面积，近似地代替了被积函数fx形成的曲边和xa，xb构成的曲线梯形面积。下面对辛浦生求积公式的误差进行估计。由于辛浦生求积公式是用二次多项式逼r