，取AC的中点G，连EG，EG∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，连EH，则EH⊥BD，∴∠EHG是二面角EBDC的平面角
EG
设AB1，则PAADDC2AB2∴
1PA1DB2
AD2AB251AD12
CABACD
又
DCAC2ABAG
ACD∽△ABG，
BG
ABGADC90
HGBGABBDHG
∴BG∥AD，∠GBH∠ADB，∴△ABD∽△HBG
ABBG1DB5
tgEHG
EG5HG
12（Ⅰ）设正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．
ABC是正三角形，AEBC．
又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC．
AE侧面BB1C1C．
连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．

在RtAED中，ta
45
AEED
3x214
，解得x22．
此正三棱柱的侧棱长为22．
注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，
AE侧面BB1C1CAFBD．AFE为二面角ABDC的平面角．在RtBEF中，EFBEsi
EBF，又
BE1si
EBF
CD233，EF．22BD3322
f又AE3
在RtAEF中，ta
AFE
AE3。EF故二面角ABDC的大小为arcta
3。
解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：（Ⅱ）由可知，BD平面AEF平面AEF平面ABD，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG平面ABD．
AEEF在RtAEF中，EGAF
3
33323

32
30．10
E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EG
B解法2：思路）AB中点H，CH和DH，CC（取连由A
230．10
ADBD
，易得平面ABD
平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．解法3：（思路）等体积变换由VCABDVABCD可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）（Ⅲ）的向量解法：、B（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系oxyz．则A003B010C010D210．x
z
A
A1
B1
o
C
Dy
C1
设
1xyz为平面ABD的法向量．
1AB0y3z由得．
2AD02xy3z0取
1631
又平面BCD的一个法向量
2001


1
263100110．cos
1
2
1
2162321210
结合图形可知，二面角ABDC的大小为arccos
10．10
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
1631CA013


fr