,∴FMEA为平行四边形∴AFEM∵AF平面PEC,EM平面PEC∴AF平面PEC②延长DA,CE交于点N,连结PN
P1
P
D
B
F
C
AEBC
D
fP
FMNEBCAD
∵∴∴∴∴∵
AB⊥PA,AB⊥ADAB⊥平面PAD∵ABDCDC⊥平面PAD∴DC⊥PDDC⊥AD∠PDA为二面角P-CD-B的平面角∠PDA=45°PA=AD=3∠PDA=45°
…6’
∵PD=32∴PA⊥AD又PA⊥AB∴PA⊥平面ABCD∵AECD且E为AB中点1∴AE=CD∴AE为△NDC的中位线2∴AN=AD=PA∴△PND为Rt△
又NE=EC=∴∴∴
4242PE=22△PNC为Rt△PC⊥PNPD⊥PN∠CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角
又PD=32∴ta
∠CPD=
CD=6
PD⊥DC
36CD==3PD32∴∠CPD=30°∴平面PEC和平面PAD所成二面角为30°③连结ED∵PA⊥平面ABCD1113∴VP-CED=S△CEDPA=633=332236VP-CED=VD-PCE=2设点D到平面PCE的距离为d.
6
S△PCE=3313VP-PCE=S△DCEd=32∴d=
322
6
点D到平面PEC的距离为4(1)过A作AEPD
32.2
PA平面ABCDCDAD
平面PAD平面ABCD
CD平面PADAE平面PCD
又AE平面PAD,CDAE又PDAE
AE为A到平面PCD的距离。
在RtPAD中PA4AD2
PD422225
f由SPAD
11PAADPDAE22
得AE
4225
45;5
(2)由(1)知AE平面PCD
APD为直线PA与平面PCD所成的角AD11APDarcta
在RtPAD中,ta
APDPA22(3)过A作AFPC,连EF,由(1)知AE平面PCD,由三垂线定理的逆定理知EFPCAFE为二面角APCD的平面角,43,在RtAEF中,在RtPAC中AF3
EFAF2AE2
4443032523515
45AE65ta
AFE4EF23015
5(1)∵△PAD为正三角形,G为AD中点,∴PG⊥AD又PG面PAD,面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCDAD∴PG⊥面ABCD,又GB面ABCD∴PG⊥GB又∵∠DAB60°,四边形ABCD为菱形,∴BABD∴BG⊥AD以G为原点,GB所在直线为x轴,GD所在直线为y轴,GP所在直线为z轴,建立(如图所示)空间直角坐标系Gxyz,则G(0,0,0),B
3300,P00,22
C
33110E02223331GB00222
PC
∴GB与PC所成角θ的余弦值为:
cos
GBPCGBPC
3463144
3303010
farccos
3010
(2)设面PBC的一个法向量为
xy1BC010由
BC0和
PC0得
x1y0y0即
10133xy022r