线性代数公式大全1行列式
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行列式共有
2个元素展开后有
项可分解为2
行列式
代数余子式的性质①Aij和aij的大小无关②某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0③某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为A代数余子式和余子式的关系Mij1ijAij设
行列式D将D上下翻转或左右翻转所得行列式为D1则D11

12
34
Aij1ijMij
DD
将D顺时针或逆时针旋转90所得行列式为D2则D21将D主副角线翻转后所得行列式为D4则D4D5行列式的重要公式①主对角行列式主对角元素的乘积②副对角行列式副对角元素的乘积×1

12

12
将D主对角线翻转后转置所得行列式为D3则D3D

③上下三角行列式主对角元素的乘积④和副对角元素的乘积×1⑤拉普拉斯展开式
AOCBACOB

12

CAOA1mi
AB
AB
BO
BC
⑥范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积⑦特征值67对于
阶行列式A恒有λEAλ
∑1kSkλ
k其中Sk为k阶主子式
k1

证明A0的方法①AA②反证法③构造齐次方程组Ax0证明其有非零解④利用秩证明rA
⑤证明0是其特征值
2矩阵
1
A是
阶可逆矩阵A≠0是非奇异矩阵
rA
是满秩矩阵A的行列向量组线性无关齐次方程组Ax0有非零解b∈R
Axb总有唯一解A与E等价A可表示成若干个初等矩阵的乘积
1
fA的特征值全不为0ATA是正定矩阵A的行列向量组是R
的一组基A是R
中某两组基的过渡矩阵
2345
对于
阶矩阵AAAAAAE无条件恒成立
A1A1ABBA
TTT
A1TAT1ABBA

ATATAB1B1A1
矩阵是表格推导符号为波浪号或箭头行列式是数值可求代数和关于分块矩阵的重要结论其中均AB可逆
A1若AA2则As
ⅠAA1A2As
A11ⅡA1
1
A21
1As
O主对角分块B1B1副对角分块OA1CB1拉普拉斯B1O拉普拉斯B1
②
A1AOOBO
1
OOA③1BOA
④⑤
A1ACOBO
1
1
A1AO11CBBCA
3矩阵的初等变换与线性方程组
1一个m×
矩阵A总可经过初等变换化为标准形其标准形是唯一确定的F
ErO
OOm×

等价类所有与A等价的矩阵组成的一个集合称为一个等价类标准形为其形状最简单的矩阵对于同型矩阵AB若rArBAB2行最简形矩阵①只能通过初等行变换获得②每行r