三．归纳与猜想归纳与猜想
一、知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：2（1）比较2x与x＋1的大小①当x＝2时，2xx2＋1；②当x＝1时，2xx2＋1；x2＋1．③当x＝－1时，2x（2）可以推测：当x取任意实数时，2xx2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。解：（1）＜，＝，＜；（2）≤。例2、观察下列分母有理化的计算：
1211541
21，
132
32，
143
43，
54…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：132143120022001
21


L
20021＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。解：
121

132

143
L
120022001
20021
213
243L2002200120021
2002120021200212001。例3、观察下列数表：1234…第一行2345…第二行3456…第三行4567…第四行…………第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，
行与第
列交叉点上的数应为第＿＿＿＿。（用含正整数
的式子表示）
1
f分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。解：11，2
1例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
操作的次数正方形个数
14
27
310

10


…………
分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。解：操作的次数是10时，正方形个数为31；操作的次数是
时，正方形个数为13
例5、下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有
1盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与
的关系式是＿＿＿＿＿＿。

2
3
4S3S6S9分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有
r