f解:由c2a2b22abcosC,得c≈4297
∵cosAb2c2a2≈07767,∴A≈39°2′2bc
∴B=180°-A+C=58°30′
∵si
A=asi
C≈06299,∴A39°或141°舍c
例3ΔABC三个顶点坐标为6,5、-2,8、4,1,求A
解法一:∵AB=62258273
BC=24281285
AC=64251225
AB2AC2BC2
cosA
2
2ABAC
365
∴A≈84°
B
8
7
6
5
4
3
2
1
4
2
A
C
2
4
6
8
解法二:∵AB=8,3,AC=2,4
∴cosA=ABAC82342∴A≈84°
ABAC
7325
365
例4
设
a
x1
y1
bx2y2
a
与
b
的夹角为
求证:x1x2
y1y2
a
b
cos
证明:如图,设
a
b起点在原点,终点为A,B
(0≤≤),
则Ax1y1
Bx2y2ABba
在△ABC中,由余弦定理
b
a
2
a
2
b
22
a
b
cos
∵b
a
2
AB
2x2x1
y2y12x2x12
y2y12
a
2x12y12
,b2x22y22
∴x2x12
y2y12
x12y12
x22y222
a
b
cos
f∴x1x2
y1y2
a
b
cos
即有
a
b
x1x2
y1y2
a
b
cos
四、课堂练习:
1在△ABC中,bCosAacosB,则三角形为
A直角三角形B
C
D等边三角形
2在△ABC中,若a2>b2c2,则△ABC为;若a2b2c2,则△ABC为
b2c2且b2<a2c2且c2<a2b2,则△ABC为
3在△ABC中,si
A2cosBsi
C,则三角形为
4在△ABC中,BC3,AB2,且si
C261,Asi
B5
参考答案:1C2
3等腰三角形4120
五、小结余弦定理及其应用
六、课后作业:
1在△ABC中,证明下列各式:
(1)(a2-b2-c2)ta
A+(a2-b2+c2)ta
B=0
2
cos2Aa2
cos2Bb2
1a2
1b2
证明:1左边=(a2-b2-c2)si
Aa2b2c2si
B
cosA
cosB
a2b2c2a2bca2b2c2b2ac
2Rb2c2a2
2Ra2c2b2
2abc2R
b2c2a2
b2c2a2
a2a2
c2c2
b2b2
abc110右边R
故原命题得证
2左边
1
2si
2a2
A
1
2si
2b2
B
11
2si
2A
2si
2B
a2b22R2si
2A2R2si
2B
112211右边a2b22R22R2a2b2
故原命题得证
2在△ABC中,已知si
Bsi
C=cos2A,试判断此三角形的类型2
解:∵si
Bsi
C=cos2A∴si
Bsi
C=1cosA
2
2
∴2si
Bsi
C=1+cos[180°-(B+C)]
将cos(B+C)=cosBcosC-si
Bsi
C代入上式得
cosBcosCr