BA
BA


210552
27【2014年重庆卷（理19）】如下图，四棱锥PABCD，底面是以O为中心的菱形，PO
f底面ABCD，
AB2BAD

3
，M为BC上一点，且BM
1MPAP2
（1）求PO的长；（2）求二面角APMC的正弦值。
PDOMABC
解：（1）设POx，则PAPO2OA2x23，PM
PO2OM2x2
212
34
在ABM中由余弦定理AM因为MP
22
AB2BM22ABBMcos120
AP，所以APM为直角三角形，由勾股定理：
22222
33212PAPMAMx3x，解出x242
所以PO
32
（2）设点A到平面PMC的距离为d，由体积法知：VAPBCVPABC即SPBCd
13
116136SABCPOd3d332322x2315，2
点A到棱PM的距离为hPA
设所求二面角为，则si

d6210h2515
28【2014年安徽卷（理20）】（本小题满分13分）
f如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD．四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC．过A1CD三点的平面记为，BB1与的交点为Q．
A1B1C1
D1
Q
（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若A1A4CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角大小．【解析】（Ⅰ）延长A1QAB交于点P∵PA1Q平面A1QCD，PAB平面ABCD平面A1QCD平面ABCDCD∴PCD，即ABCDA1Q三线共点∵AD2BC，∴
ABP
C
A
DB
C
第（20）题图
A1
D1
B1
C1
Q
D
PB1AB
PQPB1，即Q为BB1的中点又由四棱柱的几何性质知A1ABQ，∴QA1AB
（Ⅱ）设底面ABCD的面积为s，侧棱长AA1h，则SAPD多面体A1QABCD的体积为VA1QABCDVA1APDVQBCP多面体
4sshSPBCBQ33214s1sh7hsh3333218
体积为
A1B1C1D1QCD
711shsh1818
的
VA1B1C1D1QCDVABCDA1B1C1D1VA1QABCDsh
∴此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为
V上V下

VA1B1C1D1QCDVA1QABCD
11sh111877sh18
A1
D1
B1
C1
Q
D
AB

H
C
P
f（Ⅲ）过A作AHCD，垂足为H，并连接A1H∵AA1平面ABCD，CD平面ABCD∴AA1CD又∵AA1平面AA1H，AH平面AA1H，且AHAA1A，∴CD平面
AA1H
∴AHA1就是平面与底面ABCD所成二面角的平面角，设为
CD2，SABCD6，由相似关系得PD4，且SADP8
∴AH4AA1∴ta
r