＝4，∴a＝2又原点O到直线DF的距离为，2∴＝3，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相2
bca
3x222，∴bc＝3，又a＝b＋c＝4，abc0，∴b＝3，c＝1故椭圆E的方程为＋24
2
y2
3
＝12当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设Ax1，y1，Bx2，y2，直线l的方程为y＝kx－2＋1，代入椭圆方程得3＋4kx
22
f8k2k－116k－16k－82－8k2k－1x＋16k－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝326k223＋4k3＋4k→2→→1＋30，∴k－∵OP＝4PAPB，即4x1－2x2－2＋y1－1y2－1＝5，∴4x1－2x22－21＋k＝5，即4x1x2－2x1＋x2＋41＋k＝5，16k－16k－88k2k－14＋4k112∴4－2×＋41＋k＝4×解得k＝±，k＝－222＝5，3＋4k3＋4k3＋4k221不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x2
2222
2
1．2017江西联考已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为个焦点恰好与抛物线y＝4x的焦点重合．1求椭圆C的方程；
2
2，它的一2
2设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积1为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．4解：1设椭圆C的标准方程为2＋2＝1ab0，则e＝＝＝1，椭圆C的标准方程为＋y＝122由1知A01，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设Bx0，y0，则Cx0，
x2y2ab
ca
222，c＝1，故a＝2，b2
x2
2
x202y0－1－y0－11－y2110－y0，kABkAC＝＝2＝2＝≠，不合题意．x0x0x0x024
故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋mm≠1，并代入椭圆方程，得：1＋2kx＋4kmx＋2m－1＝0，①由Δ＝4km－81＋2km－10得2k－m＋10②设Bx1，y1，Cx2，y2，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，
22222222
1
x1＋x2＝－
4km2m－1，2，x1x2＝21＋2k1＋2k
2
由kABkAC＝
y1－1y2－11＝得：x1x24
4y1y2－4y1＋y2＋4＝x1x2，即4k－1x1x2＋4km－1x1＋x2＋4m－1＝0，整理得m－1m－3＝0，又因为
22
fm≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3
所以直线BC恒过一定点03．
2．2017西安质检如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x＝8y的准线上．21求椭圆C的标准方程；2点P2，3，Q2，－3在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，
B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：1设椭圆C的标准方程为2＋r