课时作业56定点、定值、探索性问题
1．过抛物线y2＝2pxp0上一定点Px0，y0y0≠0分别作斜率为k和－k的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线y2＝2px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值．
证明：设
Ax1，y1，Bx2，y2，由题易知
k≠0由y2＝2px，y－y0＝k
x－x0
，
消去x，得
y2－2kpy＋2pky0－2px0＝0，由韦达定理得y0＋y1＝2kp，所以y1＝2kp－y0①
同理y0＋y2＝－2kp，得y2＝－2kp－y0②
由①②得y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝yx22－－yx11＝2yyp222－－2yyp121＝y12＋py2＝－yp0，故直线AB的斜率为定值．
2．已知椭圆xa22＋yb22＝1ab0经过点M6，1，离心率为22
1求椭圆的标准方程；→→
2已知点P6，0，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足PAPB＝－2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
c解：1由题意得a＝
22，①
因为椭圆经过点M
616，1，所以a2＋b2＝1②
又a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝8，b2＝c2＝4，
x2y2所以椭圆的标准方程为8＋4＝1
2①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入x82＋y42＝1，消去
y，整理得2k2＋1x2＋4kmx＋2m2－8＝0
由Δ0，得8k2＋4－m20①
设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝－2k42k＋m1，x1x2＝22mk22－＋81，
f→→所以PAPB＝x1－6x2－6＋y1y2＝x1－6x2－6＋kx1＋mkx2＋m＝k2＋1x1x2＋km－6x1＋x2＋6＋m2＝－2，得k2＋1x1x2＋km－6x1＋x2＋8＋m2＝0，即k2＋122mk22－＋81＋km－62－k24＋km1＋8＋m2＝0，
整理得3m＋22k2＝0，
从而m＝－236k，满足①，
所以直线AB的方程为y＝kx－236，
故直线AB恒过定点236，0
②当直线
AB
与
x
轴垂直时，若直线为
x＝2
3
6，此时点
A，B
的坐标分别为2
3
6，2
3
6，
2
3
62，－
3
6，满足→PA→PB＝－2，
此时直线x＝236也过定点236，0
综上，直线AB恒过定点236，03．2017河北质量监测已知椭圆E：xa22＋yb22＝1的右焦点为Fc0且abc0，设短
轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为23，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相
→→交于C，G两点，且GF＋CF＝4
1求椭圆E的方程；
→→→2是否存在过点P21的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PAPB
成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
→→解：1由椭圆的对称性知GF＋CF＝2a＝4，∴a＝2又原点
O
到直线DF
的距离为
23，
∴bac＝23，∴bc＝
3，又a2＝b2＋c2＝4，ar