课时作业56
定点、定值、探索性问题
1．过抛物线y＝2pxp0上一定点Px0，y0y0≠0分别作斜率为k和－k的直线l1，
2
l2，设l1，l2分别与抛物线y2＝2px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值．
y＝2px，证明：设Ax1，y1，Bx2，y2，由题易知k≠0由y－y0＝kx－x0，
2
消去x，得
2p2py02p2py2－y＋－2px0＝0，由韦达定理得y0＋y1＝，所以y1＝－y0①kkkk2p2p同理y0＋y2＝－，得y2＝－－y0②
k
k
由①②得y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝
y2－y1y2－y12pp＝2＝＝－，故直线AB的斜率为定值．x2－x1y2y2y＋yy1120－2p2p
x2y222．已知椭圆2＋2＝1ab0经过点M6，1，离心率为ab2
1求椭圆的标准方程；→→2已知点P6，0，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足PAPB＝－2，试问直线
AB是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：1由题意得＝
ca
2，①2
61因为椭圆经过点M6，1，所以2＋2＝1②
a
b
又a＝b＋c，③由①②③解得a＝8，b＝c＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1842①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，消去84
222
2
2
2
x2y2
x2y2
y，整理得2k2＋1x2＋4kmx＋2m2－8＝0
由Δ0，得8k＋4－m0①设Ax1，y1，Bx2，y2，4km2m－8则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，2k＋12k＋1
222
f→→2所以PAPB＝x1－6x2－6＋y1y2＝x1－6x2－6＋kx1＋mkx2＋m＝k＋1x1x2＋km－6x1＋x2＋6＋m＝－2，得k＋1x1x2＋km－6x1＋x2＋8＋m＝0，2m－8－4km22即k＋12＋km－62＋8＋m＝0，2k＋12k＋1整理得3m＋22k＝0，26从而m＝－k，满足①，3
22222
26所以直线AB的方程为y＝kx－，3
故直线AB恒过定点
26，03
262626②当直线AB与x轴垂直时，若直线为x＝，此时点A，B的坐标分别为，，333→→2626，－，满足PAPB＝－2，332626此时直线x＝也过定点，033综上，直线AB恒过定点
26，03
x2y23．2017河北质量监测已知椭圆E：2＋2＝1的右焦点为Fc0且abc0，设短ab
轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为→→交于C，G两点，且GF＋CF＝41求椭圆E的方程；→→→2是否存在过点P21的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PAPB成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．→→3解：1由椭圆的对称性知GF＋CF＝2ar