知AB，C区中分别有18，27，18个工厂（Ⅰ）求从ABC区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。【答案】12，3，22
112171，639
【解析】（1）解：工厂总数为18271863，样本容量与总体中的个体数比为所以从ABC三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2
（2）A1A2为在A区中抽得的2个工厂，1B2B3为在B区中抽得的3个工厂，1C2设BC为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：C7种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有A1A2，
2
A1B2A1B1A1B3A1C2A1C1同理A2还能组合5种，一共有11种。所以所求
的概率为
1111C7221
【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。19如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，
ADCD1

DB22
f（Ⅰ）证明PA平面BDE（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值
13【解析】证明：设AC∩BDH，连结EH，在ADC中，因为ADCD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EHPA又
【答案】（1）略（2）略（3）
HE平面BDEPA平面BDE所以PA平面BDE
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥ACPD∩BDD故AC⊥平面PBD3解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角。由AD⊥CDADCD1DB22可得DHCH在RtBHC中，ta
∠CBH
232BH22
CH1所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为BH3
1。3
【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。20（本小题满分12分）已知等差数列a
的公差d不为0，设S
a1a2qLa
q
1
T
a1a2qL1
1a
q
1q≠0
∈N
（Ⅰ）若q1a11S315求数列a
的通项公式；（Ⅱ）若a1d且S1S2S3成等比数列，求q的值。
f（Ⅲ）若q≠±1证明（q）S2
1qT2
1【答案】（1）a
4
3（2）q2（3）略
2dq1q2
∈N21q
【解析】（1）解r