小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。）
第3次课
学科
课题
周次
7
时数
主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念
教学重点：
无穷小及无穷小的比较。
教学难点：
无穷大与无穷小
高等数学（一）
无穷大与无穷小
2
授课班级
1202114
教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
f教
学
过
程
§4无穷大与无穷小
无穷大与无穷小
1无穷小
定义：如果函数fx当xx0或x时的极限为零那么称函数fx为当
xx0或x时的无穷小
特别地以零为极限的数列x
称为
时的无穷小
例如
lim10
1
因为xx所以函数x为当x时的无穷小
因为
limx
x1
1
0

所以函数为x1当x1时的无穷小
lim10
1
因为
1所以数列
1为当
时的无穷小
讨论很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？
提示无穷小是这样的函数在xx0或x的过程中极限为零很小很小
的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数
本身不会为零
无穷小与函数极限的关系
定理1在自变量的同一变化过程xx0或x中函数fx具有极限A的
充分必要条件是fxA其中是无穷小
limfxA
证明设xx0
00使当0xx0时有
fxA
令fxA则是xx0时的无穷小且
fxA
这就证明了fx等于它的极限A与一个无穷小之和
反之设fxA其中A是常数是xx0时的无穷小于是
fxA
因是xx0时的无穷小00使当0xx0有
或fxA
这就证明了A是fx当xx0时的极限
简要证明令fxA则fxA
如果00使当0xx0有fxA
就有
反之如果00使当0xx0有
就有
fxA
这就证明了如果A是fx当xx0时的极限则是xx0时的无穷小如
果是xx0时的无穷小则A是fx当xx0时的极限
类似地可证明x时的情形
1x311
lim10
lim1x31
例如因为2x322x3而x2x3所以x2x32
定理2有限个无穷小的和也是无穷小
f定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小
2无穷大
定义：如果当xx0或x时对应的函数值的绝对值fx无限增大就称函
数fx为当xx0或x时的无穷大记为
limfx
xx0
或
lim
x
f
x


应注意的问题当xx0或x时为无穷大的函数fx按函数极限定义来
说极限是不存在的但为了便于r