？
（2）取t1，用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设123是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
f112

1
2
1
216
（1）令12，证明是一个单位向量；
（2）若12k3与正交，求k
四、设为
维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：
A2V
证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为
1
五、已知是对称变换，证明：的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间．
小测验六
一、填空题
00A

1、已知Vab
c
0

a
b
c

R

是
R33
的一个子空间，则维（V）
0cb0

＝
，V的一组基是

2、在P4中，若112012111131k11401k1线性无关，则k的取
值范围是

3、已知a是数域P中的一个固定的数，而
Wax1x
xiPi12

是P
1的一个子空间，则a＝
，而维W＝

4、设P
是数域P上的
维列向量空间，AP
且A2A记
W1AXXPW2XXP
AX0
则W1、W2都是P
的子空间，且W1＋W2＝
，W1W2＝

5、设123是线性空间V的一组基，x11x22x33，则由基123到基231的
过渡矩阵T＝
，而在基321下的坐标是

二、计算与证明
f1、在线性空间P2×2中，
12112111
A1


1
0


A2


1
1

B1


0
1
B2


3
7

1）求LA1A2LB1B2的维数与一组基
2）求LA1A2LB1B2的维数与一组基
2、在线性空间P4中，求由基1234到基1234的过渡矩阵，并求1423在
基1234下的坐标，其中
11000241003321042321
11183203723116241411
3、设

10
32


1证明：在P
与A可交换的矩阵的全体W是一个子空间；2求W的维数和一组基；3写出W中矩阵的一般表达式。4、证明：x2xx2xx1是Px3的一组基，并求2x27x3在此基下的坐标。5、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
W1fxfxVfxfxW2fxfxVfxfx
证明：W1、W2皆为V的子空间，且VW1W2
6、设V1V2是V的任意两个非平凡子空间，证明：V1V2V
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