，使X1AX
f2．在线性空间P
中定义变换：x1x2x
0x2x
（1）证明：是P
的线性变换（2）求P
与10（3）P
10P
3．若A是一个
阶矩阵，且A2A，则A的特征值只能是0和1
欧氏空间练习题
一、填空题1．设V是一个欧氏空间，V，若对任意V都有0，则＝_________．2．在欧氏空间R3中，向量101，010，那么＝_________，＝_________．
3．在
维欧氏空间V中，向量在标准正交基12
下的坐标是x1x2x
，那么i＝_________，＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
5．已知A是一个正交矩阵，那么A1＝_________，A2＝_________．二、判断题1．在实线性空间R2中，对于向量x1x2y1y2，定义x1y1x2y21，那么R2构成
欧氏空间。
2．在
维实线性空间R
中，对于向量a1a2a
b1b2b
，定义a1b1，则R
构成
欧氏空间。
3．12
是
维欧氏空间V的一组基，x1x2x
y1y2y
与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则x1y1x2y2x
y
。4．对于欧氏空间V中任意向量，1是V中一个单位向量。
5．12
是
维欧氏空间的一组基，矩阵Aaij
，其中aijij，则A是正定矩阵。
6．设V是一个欧氏空间，V，并且，则与正交。
7．设V是一个欧氏空间，V并且0，则线性无关。
f8．若都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。
三、计算题
1．把向量组1210，2201扩充成R3中的一组标准正交基
2．求正交矩阵T，使TAT成对解角形。
四、证明题
220
A


2
1
2

020
1．设A，B为同级正交矩阵，且AB，证明：AB0．
2．设A为半正定矩阵，且A0，证明：AE0．
3．证明：
维欧氏空间V与VT同构的充要条件是，存在双射VV，并且V有
小测验九
一、填空题
110
1、已知三维欧式空间V
中有一组基123，其度量矩阵为
A


1
2
0

，
则向
量
003
21323的长度为
。
2、
设
R
2中的内积为





A

A


21
12，则12，10在此内积之下的度量矩阵
为
。
3、在
维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为
。
4、在欧氏空间R4中，已知21321221，则
，与的夹角为
（内积按通常的定义）。
5、设R
为欧氏空间，则有柯西施瓦茨不等式：
。
二、已知二次型
fx1x2x3tx12x22x322x1x22x1x32x2x3
（1）t为何值时二次型f是正定的r